知识解读
平行四边形拥有这么多性质，然而这些性质彼此不是孤立存在的，这些性质与性质的碰撞，有时还会产生一些新的性质.如
①平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；
②平行四边形被对角线分成的四个小三角形中，相邻两个三角形的周长之差等于相邻两边之差。
典例示范
一、平行四边形十内角平分线=等腰三角形
例1.如图，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE=( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
【提示】要求BE的长，我们可借助平行四边形的性质先求出BC和CE的长，BC的长可借助平行四边形的对边相等求得，而CE的长可结合角平分线的性质证明△CDE为等腰三角形。
【技巧点评】
（1）由平行四边形的性质可知，利用平行四边形的性质可以证明线段相等、线段平行、角相等。当题目已知条件中有平行四边形时，应想到运用平行四边形的性质得到相等的线段、角以及平行的线段等性质。（2）当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中AD∥BC和DE平分∠ADC就得到△CDE是等腰三角形。
二、两条对角线分得的四个三角形的周长和面积
例2.如图，□ABCD的周长为80cm，对角线AC，BD交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，则BC的长为( ).
A.44cm B.36cm C.19cm D.16cm
【提示】：△AOB的周长为OB+OA+AB，△BOC的周长为OB+OC+BC，由于OA=OC，所以△AOB与
△BOC的周长之差，实际上就是AB与BC的差，即AB-BC=8.因为□ABCD的周长为80cm，所以AB与
BC的和为40.
【技巧点评】
平行四边形的每条对角线都会将平行四边形分成一对全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成的四个三角形的面积相等，相邻的两个三角形的周长之差等于一组邻边之差。
三、从中心对称的角度找全等
例3如图，在□ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线，AB，DC，BC
的延长线于点E，M，N，F.
（1）观察图形并找出一对全等三角形：△_______≌△_______，请加以证明；
（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？
【提示】（1）由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以我们先从形状上来大致我出全等三角形：
①△DOE≌△BOF；②△BOM≌△DON；③△ABD≌△CDB：④△AEMES△CFN.证明全等的时候，我们着先要弄清图中有哪些相等的线段和相等的角。
（2）由于整个图形关于点O中心对称，所以每对全等三角形中的一个三角形都可以由另一个三角形绕点0旋转180°得到。
【解答】
【技巧点评】
平行四边形是一个中心对称图形，它的性质都可从中心对称角度获得解释，我们利用平行四边形性质解决问题的时候，也应该从中心对称的角度来考虑问题。
四、等分平行四边形的面积
例4、如图，ABCD是王老六家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田平均分给两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由。
【提示】题目没有要求土地必须平均分为两块，因此本题就有两种思路，一是平均分为两块，每人一块；二是分成多块，每人多块，保证面积相等即可。
思路一：借助平行四边形的中心对称性来解决，由于经过平行四边形对称中心的直线将平行四边形分成的两部分图形全等，因此可考虑经过对称中心和点P作一条直线；
思路二：连接AP，BP，CP，DP，可证明S△ABP+S△CDP=S△ADP+S△BCP.
【解答】
【技巧点评】
（1）经过平行四边形对称中心（对角线交点）的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分；（2）分别连接□ABCD内一点P与各个顶点，所得到的四个三角形面积关系为S△ABP+S△CDP=S△ADP+S△BCP..
五、与平行四边形的高有关问题，常在直角三角形中处理
例5如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E.AF⊥CD于点F.若AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40，求□ABCD的面积 S□ABCD.
【提示】两条高已经知道，要求面积必须先求底边长.显然边BC与CD的和为20，因此只要再得出BC与CD的一个数量关系就能求得BC，CD.
【解答】
【技巧点评】
如图，过平行四边形的一个顶点，作平行四边形两边上的高，则高和一组邻边恰好构成两个直角三角形，因此讨论平行四边形的边长问题就可以转化成讨论平行四边形的面积问题.其中常用的结论是：S□ABCD=底边长×高（如图，S□ABCD= BC×AE=CD×AF.）
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