耗时两周，听萌萌说初二都能听懂的中考压轴题求法吧

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耗时两周时间，萌萌写完了《由19.8直角三角形的性质说起》的分享教研文章，即从初二上19.8学的直角三角形的性质入手，介绍初中阶段认识三角形的一种重要手段——解三角形。

文章从构思→制作成稿→备课，共计耗时两周时间，希望对各位初二、初三的同学，以及同为教育工作者的同行们，有所帮助和启示。

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目前所有的大型考试对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查，都是重中之重，特别是基本数学思想方法，本文中主要涉及如下思想：

由特殊类比到一般

将未知化归为已

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正文共： 5002字 86图

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由19.8直角三角形的性质说起

在认识三角形或者新事物时，都是遵循由特殊到一般的学习策略。

比如在以边的维度分类三角形时，我们曾经重点学习了等腰三角形（以及等边三角形）的性质，由特殊的三角形出发感知类比一般三角形。

同样在认识以角的维度分类三角形时，我们也是从最特殊的三角形开始学习，即从直角三角形开始学起。直角三角形的特殊性自然来自于直角的特殊性。

直角的特殊性又体现在哪里那？

在19.2（4）这节课，我带着学生回顾过证明垂直或者直角的手段，这些证明直角的方法，多少反映了直角的特殊性——

特别注意：如果一对邻补角相等，那么它们都是直角。

在19.7中，我们就曾借助过直角的特殊性，推导出H.L的这种判定全等的方法。

接下来，我们来详细地认知直角三角形。

重要从三个维度出发，首先是角的关系：

借助直角的特殊性，根据三角形内角和为180°，我们得到了直角三角形性质定理1，同时此定理的逆命题也是真命题。

接下来我们来分析边的关系，首先是特殊线段，讨论斜边与斜边上中线的关系。

遵循由特殊到一般的研究问题的策略，在直角三角形中最特殊的就是等腰直角三角形，并且等腰三角性的性质我们也曾系统学习过，也遵循由已知推未知的解题思路。

所以先从等腰直角三角形开始分析：

根据等腰三角形三线合一，我们可以知道等腰直角三角形斜边上的中线就是斜边的高，也是直角的角平分线，故这条线段将此三角形分割为两个全等的小等腰直角三角形，可知  ，即等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

从特殊到一般，那一般直角三角形有没有这样的边的关系呢？

通过观察法和测量法，学生们可以得到确定的答案，在用演绎法证明时，这里教科书上用到的方法来自19.2（6）例题11，其实就是们常说的中线倍长法（即构造全等模型里的平行X型模型），以D为对称中心，构造全等。

再根据直角三角形两锐角互余，得到  ，从而得很直角三角形性质定理2。同时我们也方法斜边上的中线将直角三角形分割为两个等腰三角形。

除了教科书上介绍的方法外，萌萌再介绍一种证明方法：

我们已经学过：一对邻补角的角平分线互相垂直，平行线+角平分线=等腰三角形，接下里讲两个已知结论结合在一起：

由已知推未知，这样我们得到了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

接下来我们来重点分析一下斜中线分割出来的两个等腰三角形。

由三角形的内角和为180°，我们可以知道，这两个三角形是一对底角互余，顶角互补且腰相等的等腰三角形。

我们也发现一对底角互余，顶角互补且腰相等的等腰三角形可以组成一个直角三角形。

因为它们顶角互补且腰相等，所以在拼回成直角三角形的过程中，得到的三角形也是一个一边上的中线恰好是这边一半的三角形，故直角性质定理2的逆命题也是真命题。

同时我们也可以发现斜边中点到三角形三个顶点的距离相等，这样的点我们在19.4的例题中也提到过，它是三角形三边垂直平分线的交点，即是三角形外接圆的圆心——外心。

直角三角形的外心在斜边的中点上，到直角三角形三个顶点的距离相等的点就是斜边的中点。故若斜边上有一个点到三角形两顶点的距离相等，那这个点也就是斜边上的中点。

比如已知DB=DC，得到×=×，然后等角的余角相等●=●，得CD=AD=BD。

举例：（来源外地考题）

例题1的第一小问是一种特殊情况，动点在线段中点上。可由平行X型全等得QE=QF。

第二小问是就是一种一般情况，动点在线段上。首先大胆假设一下，结论依然成立，然后思考要证明QE=QF，且E是一个直角顶点，我们可以把Q安放在E为直角顶点直角三角形的斜边上，那为了得出结论，Q就势必在斜边的中点上。

延长FQ，构造直角三角形FEG，此时需要证明的结论就变为了证明Q是斜边FG的中点上了，根据平行X型全等得证，解题难度下降不小。

第三小问是更加一般的情况，动点在延长线上，做法可类比第二小问。此类题真的是很经典的间接考察学生掌握直角三角形性质定理2能力的试题，有必要好好学习一下。

接下来，我们来研究一下直角三角形直角边与斜边的关系：

在构成直角三角形的这两个等腰三角形中，腰长为斜边的一半，底边为直角边。只要我们知道了这样的等腰三角形腰与底边的关系，那对应直角三角形直角边与斜边的关系我们也能确定了。

在所有我们学过的等腰三角形中，有一种三角形其腰与底的关系是明确知道——等边三角形。

所有内角都为60°的三角形是等边三角形，等边三角形的腰与底边相等，故我们知道在含60°角的直角三角形中，30°所对的直角边，等于斜边的一半（推论1）。

每条边都相等的三角形是等边三角形，故我们知道有一条直角边等于斜边的一半的，那么这条直角边所对的角等于30°（推论2）。

由特殊到一般，研究斜边与直角边的关系，其一般情况是不是就是勾股定理呢？其实不是。我想定理2的推论，与其说是边的关系，不如说是边与角的关系。

由特殊到一般，定理2的推论类比到一般，应该是直角三角形的锐角确定，那边与边的比确定，反之也是相互确定才对。

来看一道对应的例题：（来源2022黄浦八上期末26）

例题2的第一小问比较简单，证明完全等之后，可由●+■=60°，得到∠BFD=60°。

例题2的第二小问中，需要证明BF=2AF，涉及到了边的半倍关系，同时根据60°角这个角条件，我们可以根据推论1，构造30°直角三角形。

上图所示，可知BF=2FG，目标变为证明AF=GF，也可以根据半倍关系，去证明AG=BF，可用  得证。

我们进一步发现这种边与角的关系的一般情况就是第25章要学的锐角三角比。

直角三角形中，锐角三角比共有四种类别。

至此，我们可以更全面的认识直角三角形了。

在直角三角中的六个元素中，都不是孤立存在，彼此之间都有联系。数学之美在于做减法，即在认识直角三角形的过程中，无需知道全部的六个元素，便可求解直角三角形。

解直角三角形所需的条件与确定直角三角形或直角三角形全等判定定理的条件是一致的。即除了直角外，再需知道2个条件（至少有个边条件），便可解三角形。

当我们掌握了如何解直角三角形后，我们来看看一般三角形如何求解。通过作高化归为两个直角三角形进行求解。

解三角形：在三角形中，知道部分边角条件，解三角形的其他边角条件的过程，

那解一般三角形至少需要多少个边角条件呢？

以含30°、45°的三角形为例，求解过程中需要知道添线原则：一般情况下，添的辅助线是三角形的高。添高时尽量不要破坏已知角，也尽量不要破坏所求角。

类比解直角三角形，解一般三角形所需的条件与一般三角形全等判定定理的条件是一致的。

条件是SAS，可以解三角形，添高符合原则即可。

条件是AAS，可以解三角形，添高符合原则即可。

条件是ASA，可以解三角形，添高符合原则即可。

注：在求解三角形时，作高会破坏唯一的已知边，故需设新元进行计算。

条件是SSS，也可以解三角形，此类题型在19.9勾股定理这节课的学习中就有涉及到，类似求边长为13/14/15的三角形的面积问题。

添高符合原则的基础上，为避免无法判断高在形内或是在形外的情况，一般建议作最长边上的高。

借助勾股定理，列出方程进行计算。

条件是SSA时，部分学生可能记得在教科书的14章的课后阅读材料中，提到过用SSA在某些特定场合可判定全等，我们看看可不可解三角形。

两种方案中，作未知边上的高：无需设元（绿色）；作已知边上的高：需要设元（紫色）。两种方法看似是第一种方法较优。

但要特别注意，SSA条件有时三角形不一定确定的，比如上图中，AC长度为  的点C是有两个的。

故方案一是有可能漏解的。

在使用方案二时，虽然计算繁琐，但是由于列出的是一个一元二次方程，解方程得两种情况，有效避免漏解。

纵观两种方案，我们发现方案二不漏解的原因是，在算AH的长时，其实应该是  ，但是因为列方程的一步用了勾股定理，即边进行了平方，故提升了解题的容错率。

综上，萌萌推荐的方法：作未知边上的高，设未知边为新元，含新元的式子以勾股定理列式解方程（绿色）。

关于SSA，如上再进行进一步的分析，两解、一解、无解的情况，同时当三角形种类（锐角或钝角）已确定，也无需分类讨论。

举例：（来源2019闵行八上期末18）

本题也是一道初二题，翻折的填空压轴题，本题原来是无题的，由题意画出图像。

本题要求的线段BD，就在三角形ABD中，在三角形ABD中的条件组合为SSA，在解三角形ABD时，用萌萌推荐的方法进行求解：

按此法（绿色）进行求解，可以自己尝试一下看看。

总结：

在一般三角形中，一共有6个边角条件。知道其中的3个条件（至少有一个是边条件），就可以解一般三角形的其他边角条件。

注：解三角形所需的条件与三角形全等判定定理的条件是一致的，额外注意在使用SSA时，可能需要分类讨论。

在某些时候，边角条件不是确定的数值表示出来的，即有部分边角条件是含未知数的形式出现的，如下：

为了求出未知数，我们需要列出含未知数的等式，即方程，故需要等号的左边与右边，当未知数为一个时，需要的边角条件为4个时，便可解三角形求未知数了。

备注：未知数可以出现在边中，也可以出现在角的三角比中。

举例：（来源未知）

三角形ABC的边角条件中，算上含未知数x的边角条件，共知道4个条件时，解三角形ABC，便可求出未知数x。

以上是求解过程。

当边角条件中未知数的个数变为两个时，算上含未知数的边角条件，共知道4个条件时，解三角形ABC，可列出二元方程，在符合函数定义的时候，可求得函数解析式。

当边角条件中未知数的个数变为两个时，算上含未知数的边角条件，共知道4个条件时，解三角形ABC，可列出二元方程，在符合函数定义的时候，可求得函数解析式。

举例：（2019徐汇一模25，适用初三）

由题意可知，△DCE∽△ACD。

进而求出  。

通过解三角形ACD，将x与y放入同一个等式中，从而求出解析式。

举例：（2021普陀八上期末25，适用初二）

由已知条件可知三角形ABC是30°直角三角形，三角形BPQ是等边三角形。

由已知条件解三角形QBC，将x与y放入同一个等式中，从而求出解析式。

在解三角形过程中，时常会出现已知角为钝角的情况，此时需要将钝角化归为它的邻补角/外角，进行解三角形，即需要画形外高。

举例：（2019普陀一模25）

题目中的条件围绕在三角形AOC上，知道AO和AC，并且知道∠AOC=120°，SSA的条件组合，且三角形种类确定，是钝角三角形，无需分类讨论。

以未知边CO作高，求解过程如上，此类题的难点都不是如何解三角形，而是判断哪些三角形可解，这个能力也反映出同学认识三角形的能力水平的高低差别。

最后总结如下：

从直角三角形的相关学习中，我们老师教的不仅仅是基础知识，基础技能，更是两种基础的数学思想方法：①由特殊到一般的类比思想；②将未知化归为已知的化归思想。会用数学思维思考现实世界，也是新课标下，我们老师重点需要培养学生的核心素养。

再次感谢付老师给我这次分享的机会，感谢周老师提供的指导，如有不足之处，也感谢指正。

结语：

本文告一段落，读到这里的我相信应该是真爱粉了

，花了两周时间，内容还是很充实的，整个分享讲座时长在一个半小时左右，如果觉得对你有帮助的，记得给萌萌一个赞呦，你的鼓励和支持对我真的很重要，谢谢。

写在最后

斗志不是以打倒对手为目的的好斗之心，而是为了自己的生存而拼命努力的精神，这才是我们所应具备的品质。

坚持比努力更重要，勇敢的少年们，明天期中考试加油！

作者：徐艺晨

2022年12月17日

转载说明出处

12年教育工作者，专注初中数学教学，

虽前路不易，但初心不改

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