中考数学压轴专题拓展最短路径将军饮马问题

解题方法

   今天我们学习的主要内容是《最短路径将军饮马问题》。 

    在直线l上找一动点P，使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型。(1)如图2所示，“两定一动型”即两个定点+一个动点。

    如图3所示，两点之间线段最短的应用一般有以下类型,构建“对称模型”实现转化。

    (2)如图所示4，非典型的“平移型将军饮马”——角到定点。

    一起来学习吧！

专题解析

最短路径将军饮马问题

    【思路分析】菱形关于对角线BD对称，利用轴对称性质，将点F关于直线DB对称得对应点F'，则PF=PF'，EP+FP最小值转化为EP+F'P，当且仅当点E、P、F'、三点共线时，EP+FP=EP+F'P=EF'最小，EF'最小值为3。

    【思路分析】（1）在 Rt△ADO中，利用勾股定理求得OD的长即可解决问题。(2)因为四边形ABCD是菱形，所以BD关于直线AC对称，设OD交AC于P，此时OP+PB的值最小，求出OP的长即可解决问题。

    解：

    【思路分析】(动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段 PM、MN、PN在OA、OB的内侧，所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图所示，把点P分别沿OA、OB对称得P1、P2，则△PMN的周长转化为P1M +MN+P2N，这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径，从而转化为求P1、P2两点之间最短路径，得△PMN的周长最小值为线段P1P2= OP=6。

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如何课后巩固？

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