“胡不归”的理解和解释

一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后，要日夜兼程以最短的时间赶回家．如图所示，A为小伙子的出发地，B为小伙子家的位置，MN是一条驿道，在和B位于驿道MN同侧的地段全是沙砾．小伙子由于思乡心切，考虑到两点之间线段最短的原理，选择了全是沙砾地带的直线路径AB，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线才能最快到达呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．

为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（设驿道速度为a米/秒，沙砾速度为b米/秒，且a＞b＞0），小伙子需要在AC上选取一点D，再折往至B．如下图所示，他需要的时间是

，我们需要解决的就是当AD为多少时最小的问题。

抽象为一个数学问题，如图所示，直线MN为驿道，驿道两边为砂土地，点B为直线MN外一点，BC⊥MN于C，且AC=m，BC=n．小伙子准备从点A出发到点B，已知他在驿道MN和砂土地上的速度分别为a、b（a＞b＞0）．问：小伙子在AC上哪个位置拐入砂土地，可以使自己从A到B花的时间最短？

正常的思考肯定是假定小伙子从点D处拐弯，用AD的长ｘ表示出所用时间ｔ，然后想办法求出这个函数的最小值，如下所示。

对于这个函数的最小值，以我们现有的函数水平无法直接求解，所以我们要思考非代数解法。考虑线段和的最小值。

我们只需要在图形中点A或点D除构造一个新的线段，让它的长等于

就行了。考虑到ｂ＜ａ，我们可以利用三角函数（或者相似）来构造，如下图所示。

此时只要DG＋BD最小就行了，显然过点B作BH⊥AP所得的垂线段BH即为所求。到此我们就解决了“胡不归”问题。  

下面我们来看具体的题目。

例题一：如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路

千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是

千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过　   　小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）

试一试：

如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，

），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　）

A．（0，

）                     B．（0，

）      

C．（0，

）                     D．（0，

）

最后大家可以回到一开始的问题，既然我们知道小伙子应该在什么时候小伙子拐入砂土地使自己从A到B花的时间最短。那么你能求出这个最短时间吗？下期跟大家一起讨论。