如何用无刻度直尺作图

随着课程改革的推进，很多地区出现了一些题型新颖的试题，比如利用没有刻度的直尺作图问题。很多学生对这类问题感到束手无策。下面我们谈谈这类问题的解法。

首先我们要了解工具的作用。所谓没有刻度的直尺，它的作用就只有一个——画直线（连线段）。

其次我们要了解解决这类问题的策略。这类问题的解题关键是分析图形的特征，思考题目中点的连线具备的性质，然后利用性质来解题。

一、对称构造

如图，在正方形ABCD中，E为AB上一点，仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹.

（1）在AD上找点M，使AM=AE

（2）在CD上找点F，使BF=DE.

问题（1）分析：

考虑到图形的轴对称性，需要找出的点M与点E其实是关于对称轴AC对称的，所以我们可以利用对称来处理，因为E、M和B、D都关于对称轴AC对称，所以BM与DE的交点必然在对称轴上，由此我们连接DE和AC交于点H，然后连接BH并延长交AD的点几位所求的M点了。

问题（2）分析：

问题2就是一个中心对称的问题，所谓中心对称从画图的角度其实就是中点加平行的套路，这边平行是已经存在的，我们需要的就是找出中点（对称中心），所以我们首先连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD的点即为所求的点F。

反思：

利用对称构造我们需要分析题目的特征，轴对称必然有对称轴上一点和几组对称点，中心对称必然能找出对称中心，否则仅仅利用直尺作图就是无源之水了。

二、中点构造

问题一：

如图，▱ABCD中，E是AD 的中点，只用一把无刻度的直尺，找出BC的中点。

分析：

对于题目所给的平行四边形来讲，通过点的连线构造出新的点中，最重要的一个点显然是对角线交点O，而点O是AC、BD的中点，这样结合题目中给的中点E，我们就可以利用中位线的相关知识，连接EO并延长交BC于点F，点F即为所求的BC中点。如下图所示。

问题二：

在上题中，只用一把无刻度的直尺，你能找出AB、BC的中点吗？

分析：

如果我们冷静一下，可以看出还是刚才的那道题，再次重复一下刚才的操作就行了（如下图1）。当然我们还可以利用比例的知识来做，连接CE交BD于点H，连接AH并延长于CD的交点即为所求。

当然这个问题我们也可以从相似的角度来做，连接BD交CE于点H，连接AH并延长交CD的点就是CD的中点，由于本文我们不讨论利用相似，具体的问题我们以后再研究。

反思：

这种类型是给出了一个中点，这是一个信号，需要再次找到一个中点来构造中位线来解决问题，所以我们的目标再次变成了如何找对称中心的问题。

上述的作图其实大多数利用了对称的知识，无论是轴对称还是中心对称，归根结底只能画一些相等的线段，如果我们需要画一些成比例的线段还需要一些其他知识的补充，以后我们可以一起来探讨，有兴趣的朋友可以关注天津市中考数学填空的最后一题，相当考验大家对数学知识掌握的熟练程度。

１.（轴对称）问题背景：如图（1），在△ABC中，已知AB＝AC，BE＝CF．

（1）发现问题：小华审题后发现，若连接CE，BF，则CE＝BF，请说明理由；

（2）提出问题：如图（2），设CE与BF交于点O，则直线AO是BC边的垂直平分线吗？试说明理由；

（3）解决问题：在图（3）中，是各边相等，各内角也相等的正五边形ABCDE，请你只用无刻度的直尺画出图中BC边的垂直平分线．

２.（中心对称）已知：如图正方形ABCD中，点E、F分别是边AB和BC上的点，且满足BE＝CF．

（1）不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD和DA上分别作出点G和点H，使DG＝AH＝BE＝CF（保留作图痕迹，不要求写作法）

３.请按要求，只用无刻度的直尺作图（请保留画图痕迹，不写作法）如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，在图中画出∠AOB的平分线．

４.（中点构造）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，仅用无刻度的直尺作图：

（1）在BC上取点M，使四边形ABME为平行四边形；

（2）在CD的延长线上取一点F，使四边形BDFA为平行四边形．