三动点之线段取值范围探究题组

不忘初心 音乐： 韩磊;龙梅子 - 不忘初心

【原题呈现】

如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D在边AB上，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠DFE=90°，求DE的取值范围.

【试题解析】

三动点勾勒斜边，构造斜中辅助圆。

临界最小必相切，平行与否均要观。

平行三垂出正方，不平三垂梯形现。

两小比较取更小，临界最大在端点。

直角顶点在底边，平行相切最小见。

以上解法看似复杂，其实可以看做解决此类问题的通法. 当然此题还有更简单的方法：直径DE≥弦AF≥△ABC的BC上的高，故DE≥√2，又DE≤2，所以√2≤DE≤2.

【变式1】

如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠DFE=90°，求DE的取值范围.

【试题解析】

三动点勾勒斜边，构造斜中辅助圆。

临界最小必相切，平行与否均要观。

平行三垂出正方，不平三垂梯形现。

两小比较取更小，临界最大在端点。

直角顶点在底边，平行相切最小见。

【变式2】

如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，点E在边AC上，点F在边BC上，且FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，求DE的取值范围.

【试题解析】

三动点分布在三边，底边点作腰垂线段。

垂线段之和腰高线，对角互补四点共圆。

圆心连接腰上动点，构垂径导角比例见。

动弦之半比圆半径，恰好为顶角之正弦。

动圆直径乃动线段，分明是垂线段最短。

求动弦最大为几何，两弦和大于此动弦。

【变式3】

如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D在AB边上，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠DEF=90°，求DF的取值范围.

【试题解析】

三动点勾勒斜边，构造斜中辅助圆。

临界最小必相切，平行与否均要观。

平行三垂出正方，不平三垂梯形现。

定积取等和最小，注意回头验一验。

两小比较取更小，临界最大在端点。

直角顶点在腰上，不平相切最小见。

【实战演练】

如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AB的中点，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠DEF=90°，求DF的取值范围.

【试题解析】

一定一动构斜边，构造斜中辅助圆。

临界最小必相切，不能平行不用管。

直角顶点腰上动，不平相切最小见。

不平三垂梯形现，临界最大在端点。

The  End, Byebye!

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