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七下21讲 因式分解典例全覆盖(上)——四口诀破提公因式法&平方差公式

写在前面

在期中考试前,我们的重点内容之一是《整式乘法》一章,但还有一块《因式分解》的内容没有学,原因是这两块内容是互逆过程,很多同学初学时非常容易混淆,为此,本讲重点针对提公因式法和平方差公式法.

一、因式分解的概念

因式分解,顾名思义,是把一个多项式化成几个整式的积的形式,它是整式乘法的逆过程,最后的结果,一般都写成(  )·(  )的形式.(   )没有+,-号


例1:判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

分析:

通俗来讲,最后结果中,最后一步是加减法的,是整式乘法.

最后一步是乘法的,是因式分解.

但在第(7)问中,我们发现,部分项在做因式分解,属于分解不到位,所以都不算.

解答:

(1)因式分解(2)整式乘法(3)整式乘法(4)因式分解

(5)整式乘法(6)因式分解(7)都不算

二、公因式如何确定

一看系数:各项系数的最大公约数

二看字母:各项相同的字母

三看指数:各项相同字母中的最低次幂

多项式也能作为公因式

三、因式分解的步骤

较为复杂的因式分解必须做到三步,提,公,彻

第一步,有公因式,先提公因式,注意一次提清,尤其是系数,不能遗漏.

第二步,运用公式,无非是平方差公式和完全平方公式.

第三步,分解彻底,比如有的时候还有公因式可提.

四、因式分解的常见类型及口诀

1、提公因式法

2、公式法

提公因式法

口诀:提负要变号


例1:

分析:

当多项式第一项的系数为负时,通常把“-”作为公因式的符号写在括号外,使括号内第一项的系数为正,在提出负号时,多项式的各项都要变号!

解答:

变式:

提公因式法

口诀:因同不漏1


例2:

分析:

如果提取的公因式与多项式中的某一项相同,那么在提取后的多项式中,这一项剩下的“1”不能漏写!

解答:此处有误,应为x(3x-6y+1)

变式:

提公因式法

口诀:单在多之前


例3:

分析:

当多项式被一次提清,分解后,如果是几个单项式与多项式的积的形式,则将单项式相乘,写在多项式的前面.

解答:

提公因式法

口诀:分解要彻底


例4:

分析:

当多项式被一次提清,分解分解为多项式与多项式的积时,也要观察多项式中是否还有公因式可提,或者能否用公式,再一次分解.

解答:

对于多项式的底数互为相反数的,我们适当换底也能用提公因式法,如:

其实这是运用了之前互为相反数的奇次幂互为相反数,互为相反数的偶次幂相等的结论,这里,奇次幂互为相反数,说明换底之后,前面的符号有变化,我们可以再总结一个口诀,符号看指数,奇变偶不变,即指数为奇数,换底为原来的相反数时,式子前面的符号要变号.当然,这个口诀在高中学习三角函数诱导公式时,还会有不同的涵义!

例5:

平方差公式

平方差公式


例1:

错解:

分析:

产生这种错误的原因,还是在于相反数的概念不清,a+b的相反数并非a-b,而是-a-b,故本题不可采用提公因式法,应采用平方差公式法,其中,

3(a+b)看作公式中的a,2(a-b)看作公式中的b.

解答:

变式:

平方差公式


例2:

错解:

分析:

产生这种错误的原因,在于没有注意因式分解第一步,有公因式要先提,这里可提公因式4

解答:

变式:

平方差公式


例3:

错解:

分析:

产生这种错误的原因,在于没有注意到因式分解要彻底,这里的a²-9项,符合平方差公式特点,还能继续分解.总得来说,含4次项的题,一般要分解两次.

解答:

变式:

本讲思考题:

求证:817-279-913能被5整除

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