公因数和最大公因数知识汇总

一、公因数

1、概念:几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。

2、举例:

例如6的因数有:1、2、3、6；9的因数有:1、3、9；

6和9的公因数有:1、3

二、最大公因数

1、概念:几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。

2、举例:

例如:6和9的公因数是1和3，其中3是6和9的最大公因数。

三、最大公因数的一般方法

(一)分解质因数法法

几个自然数的最大公因数必须包含这几个自然数的全部公有的质因数。所以可先把各个自然数分别分解质因数，再把这几个自然数全部公有的因数找出并相乘，其乘积就是所求的最大公因数。

例如:求18和24的最大公因数。

18=23ⅹ3，24=2X2ⅹ2X3，18和24的公有的因数有2和3，所以18和24的最大公因数就是2ⅹ3=6

（二）短除法

一般用几个自然数公有的质因数分别去连续除这几个自然数，把除得的商写在对应的自然数下方，一直除到所得的这几个数的商只有公因数1为止，然后再把所有的除数连乘起来，其乘积就是这几个自然数的最大公因数。

例如求12、18、24的最大公因数，方法如下图所示:

（三）辗转相除法

方法:求两个数的最大公因数，可用较小的数去除较大的自然数，再用所得的余数去除第一次除式的中的除数，然后再用这次所得余数去除第2次除式中的除数，这样直到没有余数为止，则最后的除法算式中的除数就是这两个自然数的最大公因数。

例如:求65和280的最大公因数。过程如下

先用65除280即280÷65=4……20，

再用20除65即65÷20=3……5

再用5除20即20÷5=4

则最后一次的除数5即为65和280的最大公因数。

（四）若两个自然数是互质数，那么这两个数的最大公因数是1.

例如12和31的最大公因数是1

（五）若两个数是倍数关系，则较小的那个数就是这两个数的最大公因数。

例如12和36是倍数关系，则12是12和36的最大公因数。

四、最大公因数的性质

1、两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

2、两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的因数。