最短路径，求最值问题，已知都是考试的高频考点，而且求最值问题的各种变式题型特别多，所以为同学们总结了最短路径求最值12个模型概述及例题解析，对考试提分非常有帮助。
十二个基本问题概述
问题一：在直线 l 上求一点 P，使得 PA + PB 值最小 .
作法：连接 AB，与直线 l 的交点即为 P 点 .
原理：两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为 AB .
问题二：（“将军饮马问题”）在直线 l 上求一点 P，使得 PA + PB 值最小 .
作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B＇，连接 AB' 与 l 的交点即为点 P．
原理：两点之间线段最短． PA + PB 最小值为 AB' .
问题三：在直线 l1、l2 上分别求点 M、N，使得 △PMN 的周长最小．
作法：分别作点 P 关于两条直线的对称点 P' 和 P''，连接 P'P''，与两条直线的交点即为点 M，N．
原理：两点之间线段最短． PM + MN + PN 的最小值为线段 P'P'' 的长．
问题四：在直线 l1、l2 上分别求点 M、N，使四边形 PQMN 的周长最小．
作法：分别作点 Q 、P 关于直线 l1、l2 的对称点 Q' 和 P' 连接 Q'P'，与两直线交点即为点 M，N.
原理：两点之间线段最短． 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 Q'P' + PQ 的长．
问题五：（“造桥选址问题”）直线 m∥n，在 m、n 上分别求点 M、N，使 MN⊥m，
且 AM + MN + BN 的值最小．
作法：将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A'，连接 A'B，交 n 于点 N，过 N 作 NM⊥m 于 M .
原理：两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为 A'B + MN .
问题六：在直线 l 上求两点 M , N （M 在左），使 MN = a , 并使 AM + MN + NB 的值最小 .
作法：将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A'，作 A' 关于直线 l 的对称点 A''，连接 A''B 交直线 l 于点 N，
将 N 点向左平移 a 个单位得 M .
原理：两点之间线段最短 . AM + MN + NB 的最小值为 A''B + MN .
问题七：在 l1 上求点 A，在 l2 上求点 B，使 PA + AB 值最小 .
作法：作点 P 关于 l1 的对称点 P'，作 P'B⊥l2 于点 B，交 l1 于点 A .
原理：点到直线，垂线段的距离最短 . PA + AB 的最小值为线段 P'B 的长 .
问题八：A 为 l1上一定点，B 为 l2 上一定点，在 l2 上求点 M，在 l1上求点 N，
使 AM + MN + NB 的值最小 .
作法：作点 A 关于 l2 的对称点 A' , 点 B 关于 l1 的对称点 B'，连接 A'B' 交 l2 于点 M，交 l1 于点 N．
原理：两点之间线段最短． AM + MN + NB 的最小值为线段 A'B' 的长．
问题九：在直线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最小．
作法：连接 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P 点．
原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． | PA - PB | = 0 .
问题十：在直线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最大．
作法：作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P 点．
原理：三角形任意两边之差小于第三边． | PA - PB | ≤ AB ， | PA - PB | 的最大值 = AB .
问题十一：在直线 l 上求一点 P，使 | PA - PB | 的值最大．
作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B' 作直线 AB'，与直线 l 的交点即为 P 点．
原理：三角形任意两边之差小于第三边． | PA - PB | ≤ AB' ， | PA - PB | 的最大值 = AB' .
问题十二：（“费马点”）△ABC 中每一内角都小于 120°，在 △ABC 内求一点 P，
使得 PA + PB + PC 的值最小 .
作法：所求点为 “费马点” ，即满足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .
以 AB 、 AC 为边向外作等边 △ABD、△ACE，连接 CD、BE 相交于点 P，点 P 即为所求 .
原理：两点之间线段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .
费马点
— 到三点距离之和最小的点
费马点的构造方法：
① 所给三点的连线构成三角形（△ABC），并且这个三角形的每个内角都小于 120°；
② 如下图所示：A , B , C 是给定的三点，
以 AC 为边向外作正三角形得到点 D , 以 BC 为边向外作正三角形得到点 E ,
连接 BD 和 AE 交于点 O，我们断言点 O 就是 “费马点” .
费马点的证明方法：
先证 △AEC ≌ △DBC .
△AEC 绕点 C 顺时针旋转 60°，可得到 △DBC，从而 △AEC ≌ △DBC .
于是 ∠OBC = ∠OEC，所以 O、B、E、C 四点共圆 .
拓展知识：四点共圆判定方法
若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆 .
所以 ∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，
于是 ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可证 ∠AOC = ∠AOB = 120°，
所以 ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .
将 O 点看作是 AE 上的点，随着 △AEC 一起绕点 C 顺时针旋转 60° 得到点 O2 ,
所以 ∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,
所以 △OCO2 是等边三角形，于是有 OO2 = OC .
所以 BD = OA + OB + OC .
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