三角形中常用的“心”

重心：

三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

任意三角形的重心都在三角形内部：

证明三角形的重心交于一点：

性质：

1.三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2；2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

垂心：

三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心。

三角形的垂心不一定在三角形内部：

证明三角形的垂心交于一点：

性质：

1.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；2.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 。

内心：

三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)。

任意三角形的内心都在三角形内部：

证明三角形的内心交于一点：

性质：

1.三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；2.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

外心：

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)。

三角形的外心不一定在三角形内部：

证明三角形的外心交于一点：

性质：

1.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；2.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外。

等边三角形的重心，内心，外心，垂心，四心合一。