初二奥数精讲——第5讲 分式（一）

    本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

分式是初中数学学习中一类重要知识类型，是贯穿初中、高中乃至大学学习的重要知识点。因此，分式历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。分式在数学竞赛中，除了常规的基本方法，还需要掌握和运用一些特殊方法，让我们来开始学习吧。

1. 基本知识

分式是有理式，它的运算与分数的计算相似，不过在运算中要特别注意：对含有分式的等式而言，可对等式两边同时乘以各分式的分母的公倍式，以去掉分母。但对若干分式的和而言，则“不能去分母”，只能利用分式的基本性质（分子、分母同时乘以或除以同一个代数式，其值不变），将各分式的分母化的相同。

符号法则：

分式的基本性质：将一个分式的分子和分母同时乘以一个不为零的代数式，分式的值不变。

部分分式：将一个真分式（分子的次数小于分母的次数）分解为若干个真分式的和，叫做将分式化为部分分式。

真分式：如果一个分式分子的次数低于分母的次数，则称之为真分式，否则称为假分式。真分式具有如下一些性质：

（1）几个真分式的和或差仍为真分式，或为零。

（2）如果

是真分式，且P(x)与Q(x)是互质的整式，则这个分式可表

示成分别以P(x)、Q(x)为分母的两个真分式的和，并且这样的表达式是唯一的（此结论可以推广到分母是多个整式的积的情形）。

（3）如果一个真分式的分母可分解为若干个互不相同的一次因式a_ix+b_i与若干个互不相同的二次因式

的积，则原分式可分解为一些形如

的分式的代数和。如果一真分式的分母含有一次因式的幂：(ax+b)^r，则它的部分分式中含有这样一些分式

的代数和，按这种方式分解的部分分式都称为最简部分分式。

最简分式：如果P(x)是既约多项式，非零多项式A(x)的次数小于P(x)的次数，那么

称为最简分式，因为最简分式的分母是既约多项式的乘幂，并且A(x)

不能被P(x)整除，A(x)与P(x)互质，所以最简分式必然是既约真分式。值得注意的是，既约多项式是在一定的数域上定义的，所以一个既约真分式被认为是最简分式也是在一定的数域上来考虑的。例如x²-3在有理数域上是既约多项式，在实数域上则是可约多项式，因此，

在有理数域上是最简分式，而在实数域上则不是最简分式。

繁分式：如果一个分式的分子或分母仍是分式，则称之为繁分式，繁分式中的主分数线，除有一般分数线的作用外，还是确定繁分式的分子与分母的分界线。化简繁分式的常用方法有两种：一是根据繁分式的意义，把繁分式转化为除法进行计算；二是利用分式的基本性质，逐步去掉分子或分母中的分母。一般情况下，第二种方法比较简便。当繁分式的分子或分母中又出现繁分式时，一般应从最短分数线开始计算。

2. 基本方法

      前一讲介绍了分式的定义和基本知识，此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下的方法：

（1）约分法：尽可能解出分子、分母中的相同的因式，然后通过约分化简分式。

（2）分部通分法： 若干个分式相加减，可先将某两个分式通分后想加减，再将所得结果与后面的分式想加减。

（3）分组通分法：若干个分式相加减，可先将这些分式适当分为若干组，然后将同一组的分式通分后相加减。

（4）换元法：如果某个式子在研究的问题中多次出现，则可将这个式子用一个字母表示，以简化问题的表现形式。

（5）分离整数（式）法：如果一个分式的分子的次数不低于分母的次数（此时的分式称为“假分式”），则可用“长除法”将分子分离出一个分母的“倍数”，这样，分式可写成一个整式与一个“真分式”的和。

（6）取倒法：如果分式的分子是单项式，而分母是多项式，则可考察分式的倒数，而其倒数可分解为两部分之和。当分式不便“取到数”时，则可将分子移到分母的下方，使分式化为繁分式处理。

（7）化分母为单项式法：利用题目中的条件，把各分式分母中的多项式转化为单项式，则可简化运算。

（8）差分法：如果一个分式的分母是两个因式的积的形式，则常常可将其分解为两个分式的差，简称“差分”，差分的实质是将分式化为最简部分分式。

常用的差分公式：

后一个式子可反过来思考：

两边同除以b即得。

3. 基本问题

      分式的运算、化简与求值：此类问题，常利用分式的基本性质对有关分式进行化简、通分，然后计算。

      比较分式的值的大小：常采用作差作商比较或先取倒数再比较。

      求分式的最大最小值：常采用分离整数部分或取倒数，使出现变量的位置尽可能少。

      根据分式的值的特征求相应字母的值或范围：先将分式化简，再根据题意求其范围。

      将分式化为部分分式：常采用待定系数法。

这部分主要考察学生的对分式基本概念和应用的了解及掌握，是贯穿初中、高中乃至大学学习的重要知识点。这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，才能保证在分式的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

计算：

分析：直接通分运算很繁琐，但细心观察可发现，前两个式子的分子分母存在一定的相似性，并且都可以分解因式，从这方面突破。

解答：

例2

化简：

分析：直接通分显然不是一个好的选择，逐步通分可迅速解决问题。

解答：

例3

计算：

例4

化简：

例5

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