如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交CB于F,且EG∥AB交CB于G. (1)求证:CE=CF;(2)求证:CF=GB.
分析:图中有“双垂直”的直角三角形——图形中的“老大”,结合其他相关线段有很多相关结论;已知条件中的“角平分线”更有角平分线相关辅助线和结论;同时它们之间又通过“共边”和“共垂直”进行联系,不难得到一连串与已知、结论相关的结论,当然其中线段CF与之关系更紧密,由此除直接证明外,还可以将线段CF进行转化,然后再想方设法与BG进行联系.
图文解析
(1)从常见图形(“双垂直”——直角三角形斜边上的高)不难得到下列结论:
下面先证明:∠CEF=∠CFE.
结合“角平分线”,根据“三角形内角和定理”,不难得到:
或者 根据“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”,不难得到:
当然,也可根据“角平分线”的相关定理,添加如下辅助线:
进一步,根据“等边对等角”得到:CE=CF.
(2)直接证明CF=GB有难度,但由(1)知:CE=CF,可转化为证明:CE=GB.下面提供两个方法:
法一:由于CE在△ACE中,因此可考虑构造BG为边的三角形和△ACE全等.由于EG∥AB,可利用平行这个条件将线段AE沿EG方向平移EG长,得到GH,如下图示:
法二:利用“角平分线”的对称性:在AB上截取AH=AC,连接HE,如下图示:
法三:利用“角平分线”的性质:过F点作FH⊥AB于H,连接HE,如下图示:
△CEF≌△HFE,得到CE=EH.且∠CFE=∠FEH,如下图示:
(因特殊四边形的相关知识未学,不可用四边形的相关性质)
综合可得:CF=CE=EH=GB.(显然此法最繁琐)
法四:(此法最易)由(1)知CE=CF及“角平分线的性质”知CF=CH,所以CE=FH,同时有:
不难证得△CEG≌△FHB,得到CG=BF,进一步地,CG-FG=BF-FG,即CF=GB,…….
反思 本题的中相关基本图和相关辅助线及方法都是常用的,务必认真体会。
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