自动驾驶控制算法（一）坐标系，车辆运动学模型

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坐标系

首先给出坐标系的基本定义，当然这种定义一般都很学术：

过空间定点O，作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点,具有相同的单位长度.这三条数轴分别称为X轴(横轴).Y轴(纵轴).Z轴(竖轴),统称为坐标轴。

那么我们该如何确定不同坐标轴之间的顺序呢，比如，在确定了X轴之后，Y轴究竟应该在X轴的左边还是右边？Z轴应该指向天花板还是指向地板呢？

这个时候可以引入右手坐标系和左手坐标系进行区分。

顾名思义，在右手坐标系中，我们使用右手的大拇指指向X轴，食指指向Y轴，中指指向Z轴，还记得初高中经常拿着手扭来扭去的样子，基本和下图一样。

             

而左手坐标系，顾名思义就相反了，使用左手大拇指指向X轴，食指指向Y轴，中指指向Z轴，也是如下图所示。

                

确定了不同的坐标轴的顺序之后，我们还要确定一点，那就是旋转角的正负问题，这个也比较简单，可以记住一句话：从轴的正方向看向原点，左手坐标系下 ：顺序时针方向即是旋转正向；右手坐标系下：逆时针方向即是旋转正向，左右手坐标系的区别，就是某一坐标轴的方向相反。

接下来的话比较重要，事实上，左手和右手坐标系的应用场景不同，在计算机中通常使用的是左手坐标系，而在数学、物理中使用的则是右手坐标系，而这在自动驾驶中是需要注意的，由于存在计算机专业和传统工科等不同专业的人们涉猎自动驾驶控制岗位，所以采用不同的坐标系，可能会导致统一物理量的正负不同，这会在在初期给不少人带来困扰。

可以在这里简单举一个例子，其中地面对轮胎的侧向力，轮胎的侧偏刚度，轮胎的侧偏角的概念我还会再后面重新解释。

在《汽车理论》中，采用的是右手坐标系，轮胎侧偏刚度是一个负数，所以一个正向的侧偏力会导致轮胎负的侧偏角，如下图所示，一个正向的侧偏力F，会导致轮胎的侧偏角α 为负（从Z轴看向原点，然后逆时针）。

而在百度Apollo代码中，采用了左手坐标系，定义轮胎的侧偏刚度是正值，导致同一侧偏角在右手系中为负值，在左手系中成了正值，于是正的侧偏角x正的侧偏刚度=正的侧向力。

在说明了左右手坐标系之后，下面分别介绍一下自动驾驶中常常用到的几种坐标系

常见的有大地坐标系、车身坐标系、Frenet坐标系、传感器坐标系、空间坐标系等等。

但是后面的传感器坐标系啥的，我暂时还没有接触到，所以就不胡说了。这一次主要介绍前两个比较简单的坐标系和简单说明一下Frenet坐标系。

需要说明的是，下面的推导过程中，采用的均是右手坐标系。

1.1、大地坐标系

这个怎么解释呢，我理解大地坐标系就是一个基准。

1.2、车辆坐标系

车辆坐标系也比较简单，原点常常定义为车辆的质心，或者后轴中点（龚建伟老师的《无人驾驶模型预测控制》），这并没有什么太大的区别。

假设你是司机，可以这么想象，你朝前看就是X轴的正方向，你朝左看就是Y轴的正方向，你抬头看就是Z轴的正方向，而各个角度是以右手坐标系下为准：从轴的正方向看向原点，逆时针方向即是正向。

                         

1.3、Frenet坐标系

自动驾驶汽车路径规划技术的难点之一在于规划过程中难以表达车辆与道路之间的相对位置, 导 致二者之间的相对关系不明确. 因此, 传统规划算 法在笛卡尔坐标系下规划出的路径对于开放道路有 良好的效果, 但是对于公路环境, 忽略车道信息导 致路径的自由度太高而容易违反道路交通规则. 在 DAPRA 汽车挑战赛期间, 由斯坦福大学所提出的路 径规划算法将横向偏移 (lateral offset) 定义为相对于 基础路径 (base frame) 的垂直距离. 由于基础路径为 道路中心线, 这样的定义方式使得道路与车辆之间 的关系更为直观。

摘自基于 Frenet 坐标系的自动驾驶轨迹规划与优化算法 魏民祥† , 滕德成, 吴树凡

我感觉Frenet坐标系其实一看图就明白了，如下图所示（参考第三期 预测——Frenet 坐标 - 未完代码 - 博客园 (cnblogs.com)）：

为什么使用Frenet坐标？想象一下像下面这样一条弯曲的道路，笛卡尔坐标系就位于它的上面......

使用这些笛卡尔坐标，可以尝试描述车辆通常在路上行驶的路径...

注意这条路是多么弯曲！如果我们想要方程式来描述这个动作，那就不容易了！

x(t)= ?
y(t)= ?

理想情况下，描述这种常见驾驶行为在数学上应该很容易。但我们如何做到这一点？一种方法是使用新的坐标系。现在，而不是放下一个正常的笛卡尔网格，我们做一些事情，就像你看到下面...

在这里，我们定义了一个新的坐标系统。s = 0表示道路段的开始，d = 0表示该道路的中心线。在中线的左侧d是负的，右侧d是正的。那么在Frenet坐标系下呈现的典型轨迹是什么样的？

它看起来很直，事实上，如果这辆车以恒定的速度行驶 v 0，可以写车辆为位置的数学描述：

s( t )=v t
d ( t )= 0

我们将与Frenet一起协调课程的其余部分，因为...

......直线比弯曲的线条容易得多。

而Frenet坐标系重要的是，可以将车辆的纵向和横向运动进行解耦，也就是大地坐标系和Frenet坐标系的相互转化，涉及的数学知识比较多。

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车辆运动学模型  

首先介绍车辆比较简单的运动学模型，而常见的还有一个车辆的动力学模型，他们二者的区别我之前看到过一句话是这样写的：运动学模型研究的是物体的位置和姿态，而动力学模型研究的是物体的线速度和角速度。运动学是从几何学的角度研究物体的运动规律，包括物体在空间的位置、速度等随时间而产生的变化，感觉蛮准确的。下面介绍运动学模型。

采用著名的自行车也就是单车模型来模拟四轮车辆的运动模型，单车模型把车辆的两个前轮用一个车轮代替，两个后轮也用一个车轮代替，但车辆常常是后轮驱动，前轮转向，所以推导模型也中可以假设后轮转向角=0。

需要注意的是，真正的四轮模型中，两个前轮的转角是不同的，靠近内侧的前轮转角更大（阿克曼转向）

也可以这样理解运动学模型：正常直线行驶，位置变化等于速度*时间，车辆不是直线行驶时候，已知速度和方向盘转角等，求新的位置。

下面介绍一下运动学模型的限定条件：

1.低速形式，忽略轮胎的侧偏特性，点A和点B的速度方向就是前轮和后轮的方向

2.只考虑车辆在XOY平面上的运动，即前后，左右，以及绕Z轴的旋转

3.前面提到的假设两个前轮转向角一样，所以可以合并为一个轮胎，应用单车模型

4.车身及悬架系统是刚性的

给出车辆运动学模型的示意图

图1 车辆侧向运动学模型

其中具体的物理量，如下所示，

表1 车辆运动学模型物理量含义

需要注意的是：

β质心侧偏角（The slip angle）、前轮转角δf、后轮转角δr，是定义在车身坐标系下的

φ车辆的横摆角，是定义在大地坐标系下的

而车辆的航向角：θ=β+φ

对图1，进行矢量分解可以得到：

在图1中，因为AO⊥前轮，BO⊥后轮，BC⊥OC

根据三角形的知识，可以得到：

∠CAO=2/pi-δf

∠AOC=pi-∠CAO-∠ACO=pi-（2/pi-δf）-（2/pi+β）=δf-β

∠CBO=2/pi-δr

∠BOC=pi-∠CBO-∠BCO=pi-（2/pi-δr）-（2/pi-β）=δr+β

分别在三角形ACO和三角形BCO中应用正弦定理：

化简可以得到：

β=arctan（Vy/Vx），Vy和Vx分别是车辆质心处的速度在车身坐标系中沿Y轴和X轴的分量：

也可以这么表示，如下图：

而一般在运动学模型的低速条件下，认为车不会发成侧向移动，即Vy≈0，所以β≈0，cosβ≈1

同时认为车辆的后轮不转向，所以δr=0

对式1和式2进行化简得到，车辆运动学模型如下:

至此，我们得到了车辆最常见的运动学模型.

通过输入不同的前轮转角δ和车辆质心处的速度V，得到车辆在大地坐标系下的位置和姿态（X,Y的位置和横摆角φ），同时，不同的车辆坐标系的原点选择、前驱还是后驱、前轮转向还是后轮转向，都会造成不同的运动学模型的表达形式

但万变不离其宗，个人理解运动学模型说白了就是在车辆坐标系和大地坐标系的转换问题，所以车辆坐标系的原点无论是在车辆质心，还是前轴或者后轴中心，没什么太大区别。

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总结

车辆的运动学模型有许多假设条件，包括：低速条件，导致车辆没有横向速度分量，然后推导出质心侧偏角β≈0，所以车辆的航向角θ=车辆横摆角φ。

同样是低速条件，忽略了轮胎的侧偏特性。车辆的运动学模型比较简单，常常用在一些低速情况下的设计中，之后一节总结一下稍微复杂一点的车辆动力学模型，有哪些不正确的地方，还欢迎大家讨论，指正。

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