点P在标准坐标基中的坐标为。它跟随坐标系一起旋转了角度，然后平移了的距离。我们现在想要知道平移后的点在原始坐标系的坐标。
其实在文章图形图像中的数学-坐标的含义中我们就提到过，利用这个三角关系就可以求出。里面的关键就是「坐标基需要是在标准坐标基下的表达」。由于平移并不改变方向向量，我们把变换后的坐标重新移回标准坐标系原点，然后可以得到
所以为
如果我们把坐标写成归一化坐标，可以得到P的坐标
所有类似这样的旋转和平移组成的矩阵组成2维Special Euclidean Group(SE(2)):
其中旋转矩阵的每一列分别表示变换后的坐标系的坐标轴在标准坐标系的表示，平移向量是变换后的坐标系原点在标准坐标系的表示。
只有三个变量，其中一个是旋转角度，两个是平移分量。也就是说我们可以通过三维向量通过一些列变换得到对应的矩阵。这个三维向量定义为：
还记得我们定一个一个运算符让标量变换到。这里也同样定义运算符，通过它把三维向量变换到一个桥梁矩阵，这里我们暂时称为:
我们可以给定三个基矩阵：
在这三个基矩阵下，上面的映射可以改写为
换句话说，向量是映射在矩阵基下的坐标。
对于一个属于，我们可以定义算子
现在我们可以继续定义指数映射：
其中
我们令，那么。
其实也有显式的表达式，
不过整体上个人认为还不如直接从强行求逆，毕竟的矩阵求逆很快。
定义对数映射：
同样的，也可以定义和的直接映射
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