如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若
，则x叫做a的平方根，记作x=
。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：
被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
性质：
1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是
，则a的另一个平方根为﹣
；最简形势中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零，即
；
3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。
4.无理数可用有理数形式表示, 如:
。
1°
(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质在实数范围内因式分解];
2°
，
都是非负数；当a≥0时，
；而
中a取值范围是a≥0，
中取值范围是全体实数。
3°c=
表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论;
4° 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如
﹙a>0﹚ ，
﹙a<0﹚
﹙a≥0﹚ ，
﹙a<0﹚
7° 注意:
，即具有双重非负性。
算术平方根
正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
0的算术平方根为0.
开平方运算
化简
化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
最简二次根式
二次根式化简一般步骤：
①把带分数或小数化成假分数；
②把开方数分解成质因数或分解因式；
③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
④化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
⑤约分。
乘除法
1.积的算数平方根的性质
（a≥0，b≥0）
2. 乘法法则
（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则
（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
二次根式的应用主要体现在两个方面：
（1）利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；
（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
例：√8、√18、√32、√2、3√3、5√5中哪些是最简二次根式？
答：√2、3√3、5√5是最简二次根式。
从上面的例子可以看出，遇到一个二次根式，将它化简会给解决问题带来方便．
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
1）
a（a≥0）
√ā=|a|={
-a（a＜0）
√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）
条件：
（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）
二数二次根之积，等于二数之积的二次根。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。
开平方运算：
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。
化简：
化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
最简二次根式定义(❶被开方数不含分母❷被开方数中不含能开得尽的因数或因式)
二次根式化简一般步骤：
①把带分数或小数化成假分数
②把开方数分解成质因数或分解因式
③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外
④化去根号内的分母，或化去分母中的根号
⑤约分
分母有理化：
在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：
(1)直接利用二次根式的运算法则：
例：√a/√b=(√a*√b)/(√b*√b)=√ab/b(a≥0,b>0)
(2)利用平方差公式：
例：1/(√a+√b)=(√a-√b)/(√a-√b)(√a+√b)=(√a-√b)/(√a)^2-(√b)^2=(√a-√b)/(a-b)(a≥0,b≥0,a≠b)
(3)利用因式分解：
例：(1+2√a-√b-√ab)/(1+√a-√b)=(1+√a-√b)(1+√a)/(1+√a-√b)=1+√a(此题可运用待定系数法便于分子的分解)
(4)利用约分：(x-y)/(√x+√y)=(√x+√y)(√x-√y)/(√x+√y)=√x-√y(x>0,y>0)
分子有理化：
把分子中的根号化去，叫做分子有理化。
√a+√b=(√a+√b)(√a-√b)/(√a-√b)=a-b/(√a-√b)(a≥0,b≥0,a≠b)
换元法
换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。
例：在根式√[x+11-6√(x+2)]+√[x+27-10√(x+2)]中，令u=√(x+2)，即可得到
原式=√(u^2+9-6u)+√(u^2+25-10u)=√(u-3)^2+√(u-5)^2=2u-8=2√(x+2)-8
分析：通过换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。
选择题：
1.若√(3-m)为二次根式，则m的取值为()
A.m≤3B.m<3C.m≥3D.m>3
2.对于二次根式√(x^2+9)，以下说法不正确的是()
A.它是一个正数B.是一个无理数
C.是最简二次根式D.它的最小值是3
填空题：
3.当x___________时，√(1-3x)是二次根式.
4.比较大小：-3√2______-2√3.
简答题
nn
6.化简
.
7.已知
，
，求
的值
8.
，其中
，
9.
10.
11.已知x、y满足
，且
≠0，求
的值
12.设
，
>0且
，试求
的值
选择题：
1.A
2.B
填空题：
3.≤1/3
4.<
简答题
5-12 略
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2、合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例如：（1）
；（2）
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式
乘法
﹙a≥0，b≥0﹚
推广
﹙a≥0﹚
2.除法
﹙a≥0，b>0﹚
推广
.
﹙a≥0，b>0﹚
二次根式混合运算与实数运算相同的运算顺序相同，先乘方，在乘除，后加减，有括号的先算括号里面的。
乘法公式
❶
型，运用分配律化简，原式
。
❷
， ﹙a≥0，b≥0﹚直接运用平方差公式。
❸
， ﹙a≥0，b≥0﹚直接运用完全平方公式。
❹
型
1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
当A,B,C,D都是有理式，而
,
中至少有一个是无理式时，称
和
互为共轭根式。这两式的积是有理式
两个根式互为共轭根式，则他们互为有理化因式
【共轭】:复数中，实部相等，而虚部互为相反数的一对复数，称为共轭复数对
形如：a+bi 和a-bi
【求根公式】：
对于任意一个一元二次方程ax+bx+c=0,
它的两个根是 ： [-b-√(b-4ac)]/2a,[-b+√(b-4ac)]/2a
这是由配方法求得的公式。
当b-4ac< 0 时，√(b-4ac) = √(4ac-b) i
所以，方程的两个根就变为 ：
-b/2a-√(4ac-b)/2a i 和 -b/2a+√(4ac-b)/2ai
这样，
两根的实部都为 -b/2a
两根的虚部 （-√(4ac-b)）/2a和 +（√(4ac-b) ）/2a互为相反数
两根就成为了 共轭的一对复根了
zzˊ。
根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称
1.代数特征：
（1）|z|=|z′|；
（2）z+z′=2a（实数），z-z′=2bi；
（3）z·z′=|z|2=a+b（为一实数）；
（4）z″=z．
2.运算特征：
（1）(z+z)′=z′+z′
（2） (z-z)′=z′-z′
（3） (z·z)′=z′·z′
（4） (z/z)′=z′/z′ (z≠0)
3 模的运算性质：
① |z·z| = |z|·|z|
②
③┃|z|－|z|┃≤|z+z|≤|z|+|z|
|z－z| = |z－z|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线
ps:z′表示复数z的共轭复数(实际形式为z上一横)，z″表示复数z的共轭复数的共轭复数(为z上两横)
① 设
. 求
的值(用含有n的代数式标识,其中n为正整数).
化简
.
②已知
，
，求
的值
③
，其中
，
④
⑤
⑥已知x、y满足
，且x≠0，求
的值
⑦设
，xyz>0且
，试求
的值
分母有理化有两种方法
I.
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
如图
一
II.
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如图二
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