2012年上海高考理科第17题讲评
大罕
题目：设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105．随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0．2，随机变量ξ2取值(x1+x2)/2、(x2+x3)/2、(x3+x4)/2、(x4+x5)/2、(x5+x1)/2的概率也为0．2．若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）．
A.Dξ1>Dξ2 B.Dξ1＝Dξ2 C.Dξ1＜Dξ2 D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关
讲解：要弄清楚本题，首先要复习相关概念．
①一组数据的方差：一组数据x1,x2,…,xn的平均数为m，则方差
s2=(1/n)[(x1-m)2+(x2-m)2+…+(xn-m)2]
②随机变量及分布：若离散型随机变量x的概率分布为
ξ x1 x2 … xi… xn
P p1 p2 … pi… pn
这个表称为随机变量的分布表。
③随机变量的数学期望：在上述随机分布表中，称x1p1+x2p2+…+xnpn 为随机变量x1, x2,…,xn的数学期望．记为Eξ，即Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn．
④随机变量的方差：Dξ＝(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn，其中为随机变量ξ的方差．
在弄清楚以上概念及公式后，以下进行计算：
根据随机变量的数学期望公式和随机变量ξ1和ξ2的概率均为0.2，有
Eξ1=0.2(x1+x2+ x3+x4+x5),
Eξ2=0.2[(x1+x2)/2+(x2+x3)/2+(x3+x4)/2+(x4+x5)/2+(x5+x1)/2]
=0.2(x1+x2+x3+x4+x5),
∴Eξ1= Eξ2，并简记为E，
再根据随机变量的方差公式，有
Dξ1=0.2[(E-x1)2+(E-x2)2+(E-x3)2+(E-x4)2+(E-x5)2]
=0.2[5E2-2(x1+x2+x3+x4+x5)E+(x12+x22+x32+x42+x52)]
=0.2[5E2-10E2+(x12+x22+x32+x42+x52)]
=0.2[-5E2+(x12+x22+x32+x42+x52)]；
Dξ2=0.2{[E-(x1+x2)/2]2+[E-(x2+x3)/2]2+[E-(x3+x4)/2]2+[E-(x4+x5)/2]2+[E-(x5+x1)/2]2}
=0.2{5E2-2(x1+x2 +x3+x4 +x5) E+(1/4)[(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x5)2+(x1+x2)2]}
=0.2[-5E2+0.5(x12+x22+x32+ x42+x52+x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1)；
Dξ1-Dξ2=0.1(x12+x22+x32+x42-x52-x1x2-x2x3-x3x4-x4x5-x5x1)
=0.05[(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x5)2+(x5-x1)2],
注意到x1,x2, x3,x4,x5互不相等，
∴Dξ1-Dξ2>0，
即Dξ1>Dξ2. 故选A.
评论：这道题算得上是中档题，难在在考生对概率、数学期望，随机变量、方差等概念普遍不够熟悉，挖掘得不够深入.在这种情况下，“意外”地遇到本题，大有措手不及之感.一些同学在万般无奈之中，瞎蒙乱猜，其实都是不靠谱的.从另一角度讲，这题的出现，告诉我们今后的教学要加强对新增教材内容的讲授和训练，对高考押题不要存侥幸心理.
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