对数学创新题一例的思考
大罕
现代心理学从不同方向对思维进行了分类。从品质上划分,思维可分为再现思维和创造思维。再现思维是指依靠记忆而进行的思维,创造思维是指把已有的知识或经验综合运用从而解决新问题的思维。
创造思维的特征一是依旧,二是创新。依旧是基础。创新是此基础上的精彩发挥。进行创造思维时,既有收敛,又有发散,不拘一格。收敛以集中思考,发散以捕捉灵感。
新与旧是相对而言的,因而也是因人而异的。一则看似平平的数学问题,如果某学生在新意识下得以解决,也是一个创新。用数学解决实际问题时,情景的特殊性致使抽象出来的数据并非像数学教材里那么“规范”、“养眼”,如我们仍能迎刃而解,则不能不称之为一次创新。
以下的数学高考题,题目背景虽不知其出处,但无疑来自于某研究领域。题目读下来,感觉怪怪的:学习次数作为自变量,掌握程度作为函数,参变数则是与正实数a有关的学科知识。我们先读读题目吧:
上海市2009年高考数学(理科)第20题如下:
有时可用(分段)函数:当x≤6时,f(x)=0.1+15ln[a/(a-x)];当x>6时,f(x)=(x-4.4)/(x-4)描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关。
⑴证明:当x≥7时,掌握程度的增加量f(x+1)- f(x)总是下降;
⑵根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,12],(121,133],当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科。
评析:第⑴问是证明函数的单调性。一般情况下是给出一个函数F(x),本小题“怪”在没有直接给出欲研究其单调性的函数,给出的是掌握程度的增加量f(x+1)-f(x)——这个函数当x≥7时单调递减性,哈哈,迷惑了一部分学生。
第⑵问给出甲乙丙学科对应的a的取值范围,依条件求出a值后对号入座,确定相应的学科。这里既不是求自变量的值,也不是求函数值,而是在已知自变量x=6,函数值为0.85的情况下求参数a的值,你说怪不怪?
见怪不怪,其怪自败。看穿题目之用心,竟如此简单!
其实,此题如按下述方式给出,则清澈如许:
已知分段函数:当x≤6时,f(x)=0.1+15ln[a/(a-x)];当x>6时,f(x)=(x-4.4)/(x-4)
⑴设G(x)=f(x+1)- f(x)(x≥7),求证G(x)为减函数;
⑵当x=6,f(x)=0.85时,求a的值,并判断此时a属于下列区间的哪一个:(115,121],(121,12],(121,133].
不过,一经改动,此题的创新意识全然消失了。悲乎,还是不改的好。
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