巧用向量求空间角

（西北师范大学2003级教育硕士班      马 健）

 

空间的角是立体几何重点中的重点,同时是高考的重要内容.纵观二十多年高考试题,涉及空间角的题比比皆是.引入空间向量后,对于计算空间角提供了一种较为简便的方法,体现了向量的工具性.本文就利用向量求解空间角的问题作一探讨.

角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要，三种空间角都可转化为平面角来计算，可以进一步转化为向量的夹角求解．

一、两异面直线所成的角

异面直线所成的角α利用它们所在的向量，转化为向量的夹角θ问题，但θ∈［0，π］，α∈（0，π/２），所以

ｃｏｓα＝｜ｃｏｓθ｜＝｜a·ｂ｜/(｜ａ｜｜ｂ｜)．

例1如图1，三棱柱ＯＡＢ-Ｏ₁Ａ₁Ｂ₁，平面OＢ₁⊥平面ＯＡＢ，∠Ｏ₁ＯＢ＝60°，∠ＡＯＢ＝90°，且OB＝ＯＯ₁＝２，ＯＡ＝ ，求异面直线A₁B与AO₁所成角的大小．（2002年上海春季高考试题第19题） 

思路分析：用平移A₁B或ＡＯ₁的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向量法求解．充分利用∠ＡＯＢ＝90°，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何问题转化为代数问题计算．

 

 

　评议：求两条异面直线所成角的大小，通常采用平移法产生相应的平面角，并借助解三角形求解．这时免不了要作辅助线和几何推理．这里运用向量法，无论是解法1（向量直接运算法），还是解法2（向量坐标运算法），都免去了这些手续，显得便当快捷．

二、直线和平面所成的角

 

∴　θ＝３0°．
解题回顾：充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．解法2给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．

例4三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3．
(Ⅰ)求证：AB⊥ＢＣ；
 

 

 

 

一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具，应该说不仅会降低了学习的难度，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理障碍，更有利于新课改、新理念、新教材的教学实验．