安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中、铜陵一中2016届高三（上）第三次联考数学试卷（文科）（解析

2015-2016学年安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中、铜陵一中高三（上）第三次联考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数

在复平面上对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数的基本概念．

【分析】先化简，

=

=

=

﹣

i，从而可知所在象限．

【解答】解：∵

=

=

=

﹣

i，

故复数

在复平面上对应的点位于第四象限，

故选D．

2．设a、b为两条不同的直线，α为一个平面，下列命题中为真命题的是（ ）

A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若a⊥b，a∥α，则b⊥α

C．若a∥b，a⊥α，则b⊥α D．若a⊥b，a⊥α，则b∥α

【考点】四种命题．

【分析】根据空间中的平行与垂直的关系即可判断．

【解答】解：对于A，若a∥b，a∥α，则b∥α，或b?α，故A错误，

对于B，若a⊥b，a∥α，则b∥α或b?α或b⊥α，故B错误，

对于C，若a∥b，a⊥α，则b⊥α，故正确，

对于D，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b?α，故D错误，

故选：C．

3．设

，则A∩B=（ ）

A．{（﹣1，1）} B．{（0，1）} C．[﹣1，0] D．[0，1]

【考点】对数函数的定义．

【分析】分别求出两个函数的定义域和值域得到集合A，B，结合集合的交集运算定义，可得答案．

【解答】解：∵由1﹣x²≥0得：x∈[﹣1，1]，

∴A=[﹣1，1]，

∵y=lg（1﹣x²）≤lg1=0得：

∴B=（﹣∞，0]，

∴A∩B=[﹣1，0]，

故选：C

4．p：x²﹣3x+2≤0成立的一个必要不充分条件是（ ）

A．x＞1 B．x≥1 C．1≤x≤2 D．1＜x＜2

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】求出不等式的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行判断即可．

【解答】解：由x²﹣3x+2≤0得1≤x≤2，

则p的必要不充分条件是x≥1，

故选：B．

5．设x，y满足约束条件

，则2x﹣y的最小值是（ ）

A．﹣4 B．

C．0 D．6

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件

作出可行域如图，

令z=2x﹣y，化为y=2x﹣z．

由图可知，当直线y=2x﹣z过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣4．

故选：A．

6．若先将函数

图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移

个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得y=2sinx，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质即可得解．

【解答】解：∵

=2sin[（x﹣

）+

]=2sinx，

∴先将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得函数为：y=2sin

x，

再将所得图象向左平移

个单位，所得函数为：y=2sin

（x+

）=2sin（

+

），

∴由

+

=kπ+

，k∈Z，可解得对称轴的方程是：x=2kπ+

，k∈Z，当k=0时，可得函数图象的一条对称轴的方程是：x=

．

故选：D．

7．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据三视图判断几何体的形状，根据它的几何性质得出，利用三角形求出表面积．

【解答】解：根据三视图得出该几何体为三棱锥，如图所示：

PC⊥面ABC，CD⊥AD于D，AB=1，CD=1，PC=1，

∴S_△ABC=

×1×1=

，S_△PAC=S_△PBC=

×1×

=

，

S_△PAB=

×1×

=

；

所以该三棱锥的表面积为S=

+2×

+

=

．

故选：D．

8．函数

在[﹣2π，2π]上的大致图象是（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】正弦函数的图象．

【分析】取x为非常小的锐角和非常接近2π（小于2π）的角，结合图象排除即可．

【解答】解：当x为非常小的锐角时，（x﹣

）＜0，sinx＞0，

∴f（x）=（x﹣

）sinx＜0，排除B、D；

当x为非常接近2π（小于2π）的角时，（x﹣

）＞0，sinx＜0，

∴f（x）=（x﹣

）sinx＜0，排除A，

故选：C

9．已知a＞﹣1，b＞﹣2，（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】由a＞﹣1，b＞﹣2，可得a+1＞0，b+2＞0，则a+b=（a+1）+（b+2）﹣3，再由基本不等式即可得到所求的最小值．

【解答】解：由a＞﹣1，b＞﹣2，

可得a+1＞0，b+2＞0，

则a+b=（a+1）+（b+2）﹣3

≥2

﹣3

=2×4﹣3=5，

当且仅当a+1=b+2=4，即a=3，b=2，取得最小值5．

故选：B．

10．已知|

|=8，|

|=6，∠BAC=

，

=

，

=2

，线段BE与线段CD交于点G，则|

|的值为（ ）

A．4 B．

C．2

D．5

【考点】向量的模．

【分析】利用向量模的关系，建立坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线CE，DB的方程，求出交点即G点的坐标，然后求解向量的模即可．

【解答】解：以A点为原点，以

为x轴，建立如图所示的坐标系，

∵|

|=8，|

|=6，∠BAC=

，

=

，

=2

，

∴A（0，0），B（8，0），E（4，0），D（2，2

），C（3，3

），

∴直线CE的方程为

=

，即3

x+y﹣12

=0，①

直线DB的方程为

=

，即x+

y﹣8=0，②

由①②构成方程组，解得

，

∴点G（

，

），

∴

=（

，

），

∴|

|=

=

，

故选：B

11．已知f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，下列说法正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】利用f（x﹣1）是偶函数，可得f（﹣x）=f（x﹣2），f（

）=f（﹣3）=f（1），根据x＞0，

，f（x）在（0，+∞）上单调递增，即可得出结论．

【解答】解：∵f（x﹣1）是偶函数，

∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），

∴f（﹣x）=f（x﹣2），

∴f（

）=f（﹣3）=f（1），

∵x＞0，

，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴

．

故选：C．

12．已知数列{a_n}满足

，则a₂₀₁₆除以4所得到的余数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】数列的概念及简单表示法．

【分析】数列{a_n}满足

，可得a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5，a₆=8，a₇=13，a₈=21，a₉=34，a₁₀=55，a₁₁=89，a₁₂=144，…，为斐波那契数列，可得a_n除以4d的余数分别为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即可得出周期性．

【解答】解：∵数列{a_n}满足

，

∴a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5，a₆=8，a₇=13，a₈=21，a₉=34，a₁₀=55，a₁₁=89，a₁₂=144，…，

为斐波那契数列，

∴a_n=

，

可得a_n除以4d的余数分别为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，

其余数的周期为6，

而2016=4×504，

∴a₂₀₁₆除以4所得到的余数是0．

故选：A．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知公差不为0的等差数列{a_n}，a₁，a₃，a₁₁成等比数列，则

=

．

【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．

【分析】由题意可得（a₁+2d）²=a₁×（a₁+10d），可得

．

【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a_n}，a₁，a₃，a₁₁成等比数列，

∴a₃²=a₁·a₁₁，代入数据可得（a₁+2d）²=a₁×（a₁+10d），

解得

=

．

故答案为：

．

14．△ABC中，

，则cosC=

．

【考点】两角和与差的余弦函数．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA、cosB的值，再利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得cosC的值．

【解答】解：△ABC中，∵

，∴sinA=

=

＞sinB，∴A＞B；

cosB=

=

，

则cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣

+

=

，

故答案为：

．

15．已知点M是△ABC所在平面内的一点，且满足

，则△ABM与△ABC的面积之比为 4：7．

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】根据条件

作出平行四边形，根据各线段的比例关系寻找对应三角形的面积比．

【解答】解：连接AM，BM，延长AC至D使AD=4AC，延长AM至E使AE=7AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形．

∵AD=4AC，AE=7AM，

∴S_△ABC=

S_△ABD，S_△AMB=

S_△ABE，

∵S_△ABD=S_△ABE，∴S_△ABM：S_△ABC=

：

=4：7．

故答案为4：7．

16．两个同底的正四棱锥内接于同一个球，两个四棱锥侧面与底面形成的角分别为α与β，则tan（α+β）的取值范围是

．

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】如图可得∠SEH和∠MEH即为两个正四棱锥的侧面和底面成的角，设球的半径为R，不妨球心O在平面ABCD的上方，平面ABCD所在的小圆的半径为r则R≥r．不妨设∠SEH=α，∠MEH=β，求得tanα 和tanβ的值．由于SH+MH=2R，再根据tan（α+β）=

=﹣2

·

≤﹣2

，从而得到tan（α+β）的范围．

【解答】解：如图：正四棱锥S﹣ABCD和正四棱锥M﹣ABCD的六个顶点

在同一个球面上，设球的半径为R，不妨球心O在平面ABCD的上方，

平面ABCD所在的小圆的半径为r 则R≥r，

≥1．

则由题意可得SM=SH+MH=2R．

取ABCD的中心为H，取AD的中点E，则由正四棱锥的性质，

可得∠SEH 和∠MEH即为两个正四棱锥的侧面和底面成的角，

不妨设∠SEH=α，∠MEH=β．

∵OH=

=

，EH=

AH=

r，

∴SH=R﹣

，MH=R+

．

故tanα=

=

，tanβ=

=

，

tan（α+β）=

=

=

=﹣2

·

≤﹣2

，

当且仅当R=r，即ABCD所在的圆为大圆时，取等号．

故 tan（α+β）的范围为：

，

故答案为：

．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知

．

（1）求

的值；

（2）若

，求f（x）的值域．

【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

【解答】解：（1）由于

．

∴

．

（2）∵

，∴

，∴

．

18．已知函数f（x）=e^x+ax²+bx+c，a，b，c∈R．

（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为3x﹣y+2=0，求b，c的值；

（2）若b=0，且f（x）在

上单调递增，求实数a的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f（0）=2，f′（0）=3，解方程组可得b，c的值；

（2）求得b=0时，f（x）的导数，由题意可得e^x+2ax≥0，即有a≥﹣

在[

，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣

，求出导数和单调区间，可得g（x）的最大值，即可得到a的范围．

【解答】解：（1）函数f（x）=e^x+ax²+bx+c的导数为f′（x）=e^x+2ax+b，

由题意可得

；

（2）b=0时，f（x）=e^x+ax²+c，导数f′（x）=e^x+2ax，

由f（x）在

上单调递增，可得f′（x）≥0在[

，+∞）上恒成立，

即e^x+2ax≥0，即有a≥﹣

在[

，+∞）上恒成立．

令

，

则

在

上递增，在（1，+∞）上递减，

∴g（x）_max=g（1）=﹣

，

∴

．

19．已知数列{a_n}满足a₁=

，a_n=

（n≥2）．

（1）求证：{

﹣1}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；

（2）若b_n=

，求{b_n}的前n项和S_n．

【考点】数列的求和；等比关系的确定．

【分析】（1）由已知得

=

，从而

，n≥2，由此能证明{

﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，从而能求出{a_n}的通项公式．

（2）由b_n=

=（2n﹣1）（2^n﹣1+1）=（2n﹣1）·2^n﹣1+2n﹣1，利用分组求和法和错位相减求和法能求出{b_n}的前n项和S_n．

【解答】证明：（1）∵数列{a_n}满足a₁=

，a_n=

（n≥2），

∴

=

，n≥2

∴

，n≥2，

又

，

∴{

﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，

∴

，

，

∴

．

解：（2）∵b_n=

=

=（2n﹣1）（2^n﹣1+1）=（2n﹣1）·2^n﹣1+2n﹣1，

∴{b_n}的前n项和：

S_n=1+3·2+5·2²+…+（2n﹣1）·2^n﹣1+2（1+2+3+…+n）﹣n

=1+3·2+5·2²+…+（2n﹣1）·2^n﹣1+2×

﹣n

=1+3·2+5·2²+…+（2n﹣1）·2^n﹣1+n²，①

2S_n=2+3·2²+5·2³+…+（2n﹣1）·2ⁿ+2n²，②

②﹣①，得S_n=﹣1﹣（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n﹣1）·2ⁿ+n²

=﹣1﹣

+（2n﹣1）·2ⁿ+n²

=（2n﹣3）·2ⁿ+3+n²．

∴{b_n}的前n项和S_n=（2n﹣3）·2ⁿ+3+n²．

20．在如图所示的圆锥中，PO是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB上一点，且PO=2，OB=1．

（1）若D为PB的中点，试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；

（2）若PB⊥CD，求直线AC与面COD所成角θ的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）连接BE，设BE∩OC=G，连接DG，推导出EF∥DG，从而DF=PF=

，由此得到点F是PB上靠近点P的四等分点．

（2）过点A作AD₁⊥DO，则AD₁⊥面COD，由此能求出直线AC与面COD所成角θ的正弦值．

【解答】解：（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，

∴

，连接DG，

∵EF∥平面COD，EF?平面BEF，面BEF∩面COD=DG，

∴EF∥DG，

∴

，

又BD=DP，∴DF=PF=

，

∴点F是PB上靠近点P的四等分点．

（2）

，

由平面几何知识知

，

过点A作AD₁⊥DO，垂足为D₁，∴AD₁⊥面COD，

由

，

又直线AC与面COD所成角θ，即

，

∴直线AC与面COD所成角θ的正弦值为

．

21．设函数f（x）=x·1nx，g（x）=ax²﹣2ax+1．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若x∈[1，2]，a∈[1，2]，求证：f（x）≥g（x）．

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（1）求导f′（x）=1+1nx，从而由导数的正负确定函数的单调性；

（2）构造函数F（x）=f（x）﹣g（x）=x·1nx﹣ax²+2ax﹣1，从而求导F′（x）=1+lnx﹣2ax+2a，F″（x）=

﹣2a，从而确定函数的最小值即可．

【解答】解：（1）∵f（x）=x·1nx，f′（x）=1+1nx，

故当x∈（0，

）时，f′（x）＜0；

当x∈（

，+∞）时，f′（x）＞0；

故f（x）的单调减区间为（0，

），

单调增区间为（

，+∞）；

（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x·1nx﹣ax²+2ax﹣1，

故F′（x）=1+lnx﹣2ax+2a，F″（x）=

﹣2a，

∵x∈[1，2]，a∈[1，2]，

∴F″（x）=

﹣2a＜0，

∴F′（x）在[1，2]上是减函数，

又∵F′（1）=1+0=1＞0，F′（2）=1+ln2﹣4a+2a=1+ln2﹣2a＜0，

∴F（x）在[1，2]上先增后减，

故F（x）的最小值在x=1或x=2上取得，

而F（1）=1ln1﹣a+2a﹣1=a﹣1≥0，（a∈[1，2]）；

F（2）=2ln2﹣4a+4a﹣1=2ln2﹣1=ln4﹣1＞0，

故F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲．

22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．

（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）求BC的长．

【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．

【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有

，故可求BC的长．

【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，

因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，

又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，

所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

，∴BC=CE，

连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，

所以

，所以BC=2．

选修4-4：坐标系与参数方程．

23．在平面直角坐标系xOy中，已知C₁：

（θ为参数），将C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的

和2倍后得到曲线C₂以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（

cosθ+sinθ）=4

（1）试写出曲线C₁的极坐标方程与曲线C₂的参数方程；

（2）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．

【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】（1）把C₁消去参数化为普通方程为x²+y²=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C₂的普通方程，再化为极参数方程．

（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（

cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=

，故当sin（θ+

）=1时，即θ=2kπ+

，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值

【解答】解：（1）把C₁：

（θ为参数），消去参数化为普通方程为x²+y²=1，

故曲线C₁：的极坐标方程为ρ=1．

再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C₂的普通方程为

+

=1，即

+

=1．

故曲线C₂的极参数方程为

（θ为参数）．

（2）直线l：ρ（

cosθ+sinθ）=4，即

x+y﹣4=0，设点P（

cosθ，2sinθ），

则点P到直线的距离为d=

=

，

故当sin（θ+

）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+

，k∈z，点P（1，

），

故曲线C₂上有一点P（1，

）满足到直线l的距离的最小值为

﹣

．

选修4-5：不等式选件．

24．函数f（x）=

．

（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；

（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（?_RA）时，求证：

＜|1+

|．

【考点】不等式的证明；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．

【分析】（Ⅰ）根据题意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范围，即是f（x）的定义域A；

（Ⅱ）由A、B求出B∩C_RA，即得a、b的取值范围，由此证明

成立即可．

【解答】解：（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=

，

∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；

即|x+1|+|x+2|≥5，

当x≥﹣1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；

当﹣1＞x＞﹣2时，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈?；

当x≤﹣2时，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；

综上，f（x）的定义域是A={x|x≤﹣4或x≥1}．

（Ⅱ）∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}，

∴?_RA=（﹣4，1），

∴B∩C_RA=（﹣1，1）；

又∵

，

而

；

当a，b∈（﹣1，1）时，

（b²﹣4）（4﹣a²）＜0；

∴4（a+b）²＜（4+ab）²，

即

．

2016年9月30日