2016年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷（一）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合A={1，a}，B={1，3，4}，且A∩B={1，3}，则实数a的值为 3 ．
【考点】交集及其运算．
【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．
【解答】解：∵A={1，a}，B={1，3，4}，且A∩B={1，3}，
∴1∈A且3∈A，
则实数a的值为3．
故答案为：3
2．i是虚数单位，复数z满足=i，则|z|= 5 ．
【考点】复数求模．
【分析】由=i得z﹣3i=4i·i=﹣4，从而求模．
【解答】解：∵=i，
∴z﹣3i=4i·i=﹣4，
∴z=﹣4+3i，
∴|z|==5，
故答案为：5．
3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为50 ．
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．
【解答】解：根据频率分布直方图可知，三等品总数n=[1﹣（0，05+0.0375+0.0625）×5]×200=50．
故答案为：50．
4．某学校高三有A，B两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】某学校高三有A，B两个自习教室，则甲、乙、丙三名学生选择其中一个教室自习的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在教室A的概率，同理，可求出他们同在教室B的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择其中一个教室自习的概率均为，
则他们同时选中A教室的概率为： =；
他们同时选中B教室的概率也为：： =；
故们在同一自习教室上自习的概率P==．
故答案为：
5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 30 ．
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的A，N的值，即可得解输出一列数中的第3个数．
【解答】解：模拟执行程序，可得
A=3，N=1，输出3，N=2，
满足条件N≤4，A=6，输出6，N=3，
满足条件N≤4，A=30，输出30，N=4，
满足条件N≤4，A=870，输出870，N=5，
不满足条件N≤4，结束．
则这列数中的第3个数是30．
故答案为：30．
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，该双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程 ．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．
【解答】解：由题意得，，
解得a2=5，b2=20，
∴双曲线的方程是，
故答案为：．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2S3﹣3S2=12，则数列{an}的公差是4 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列递推关系式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设数列{an}的公差为d．
由2S3﹣3S2=2（3a1+3d）﹣3（2a1+d）=3d=12，
解得d=4．
故答案为：4．
8．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则，解得，
所以高，
所以．
故答案为：．
9．已知直线x+y=b是函数y=ax+的图象在点P（1，m）处的切线，则a+b﹣m= 2 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】运用切点在切线上和曲线上，可得a，b，m的方程，求出函数的导数，可得切线的斜率，结合已知切线的方程，可得a=1，b=4，m=3，进而得到所求值．
【解答】解：由于P（1，m）在函数y=ax+的图象和直线x+y=b上，
则m=a+2，m+1=b，
又由函数y=ax+的导函数y′=a﹣，
可知切线的斜率k=﹣1=a﹣2，有a=1，m=3 和b=4，
则a+b﹣m=2．
故答案为：2．
10．已知cos（）=，则cos（）﹣sin2（α﹣）= ．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】根据诱导公式得出cos（）=﹣cos（﹣α），sin2（α﹣）=1﹣cos2（﹣α），然后将已知条件代入即可求出结果．
【解答】解：cos（）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣
sin2（α﹣）=sin2[﹣（﹣α）]=1﹣cos2（﹣α）=1﹣（﹣）2=
∴cos（）﹣sin2（α﹣）
=﹣﹣
=﹣．
故答案为：﹣
11．在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M、N为AC边上两个动点，且满足|MN|=，则·的取值范围是 [，2] ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立平面直角坐标系，设出M，N坐标，利用坐标表示出，
【解答】解：以等腰直角三角形的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图，则B（0，0），直线AC的方程为x+y=2．
设M（a，2﹣a），则0≤a≤1，N（a+1，1﹣a），∴=（a，2﹣a），=（a+1，1﹣a）．
∴·=a（a+1）+（2﹣a）（1﹣a）=2a2﹣2a+2=2（a﹣）2+．
∵0≤a≤1，∴当a=时， ·取得最小值，当a=0或1时， ·取得最大值2．
故答案为[，2]．
12．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，直线l：3x+4y﹣17=0．若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为6x﹣8y﹣19=0 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】当AB的长度最小时，圆心角∠ACB 最小，设为2，当最小时， 最大，即CM 最小，由此能求出直线AB的方程．
【解答】解：当AB的长度最小时，圆心角∠ACB 最小，设为2，
则由，
知当最小时， 最大，即CM 最小，那么CM⊥l，
∴，
设直线AB的方程为3x+4y=m．
又由CM=2，知点C 到直线AB的距离为，
即，解得或m=；
经检验，则直线AB的方程为6x+8y﹣19=0．
故答案为：6x+8y﹣19=0．
13．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]．
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．
【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．
【解答】解：∵g（x）=kx+1，
∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，
即f（x）=kx+1，
则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，
当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=ex﹣1，
当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=ex﹣2，
当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=ex﹣3，
…
当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；
函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；
作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，
C（0，1），B（2，e），A（1，e）；
故kAC=e﹣1，kBC=；
在点C处的切线的斜率k=e0=1；
结合图象可得，
实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；
故答案为：
14．已知不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值的集合为{﹣2，8} ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】对b分类讨论，当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0，由一次函数的图象知不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，利用数学结合的思想得出a，b的整数解．
【解答】解：当b≤0 时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0得到ax+3≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则a不存在；
当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0，可设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，又g（x）的大致图象如下，那么由题意可知： 再由a，b 是整数得到或因此a+b=8或﹣2．
故答案为{﹣2，8}
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最小值是﹣2，其图象经过点M（，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈（0，），且f（α）=，f（β）=，求f（α﹣β）的值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【分析】（1）由已知可求A，由，可得，结合范围0＜φ＜π，可求φ，进而可得f（x）的解析式；
（2）由（1）知f（x）=2cosx，由已知可得，利用同角三角函数基本关系式及范围α，β∈（0，），可求sinα，sinβ，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：（1）因为f（x） 的最小值是﹣2，
所以A=2．
又由f（x） 的图象经过点，
可得，，
所以或，又，
所以，
故，即f（x）=2cosx．
（2）由（1）知f（x）=2cosx，
又，，
故，
即，
又因为，
所以，
所以f（α﹣β）=2cos（α﹣β）=2（cosαcosβ+sinαsinβ）=．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．证明：
（1）AP∥平面BED；
（2）平面APC⊥平面BED．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取AC，BD的交点O，连结OE，根据中位线定理得出OE∥AP，故而AP∥平面BDE；
（2）由平面PBC⊥平面ABCD得出PC⊥平面ABCD，故而PC⊥BD，由菱形性质得出BD⊥AC，故而BD⊥平面PAC，于是平面APC⊥平面BED．
【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连结OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为BD中点．又E是PC的中点，
∴AP∥OE．又AP?平面BED，OE?平面BED．
∴AP∥平面BED．
（2）平面PBC⊥平面ABCD，∠PCB=90°，
∴PC⊥平面ABCD．又BD?平面ABCD，
∴PC⊥BD．
∵平面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又PC?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PC=C，
∴BD⊥平面APC．又BD?平面BED，
∴平面PAC⊥平面BED．
17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan∠MON=﹣3，OA=6km，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．
（1）求水上旅游线AB的长；
（2）若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成th时的半径为r=3（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以18km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）由点到直线的距离，结合直线AQ的方程，即可求出AB的长；
（2）强水波不会波及游轮的航行即，代入进行分类讨论，即可得出结论．
【解答】解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示．
则由题设得：A（6，0），直线ON的方程为y=﹣3x，Q（x0，3）（x0＞0）．
由，及x0＞0得x0=3，∴Q（3，3）．
∴直线AQ 的方程为y=﹣（x﹣6），即x+y﹣6=0，
由得即B（﹣3，9），
∴，
即水上旅游线AB 的长为．
（2）设试验产生的强水波圆P，
由题意可得P（3，9），生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则
AC=18t，0，∴C（6﹣18t，18t）．
强水波不会波及游轮的航行即．
PC2=（18t﹣3）2+（18t﹣9）2＞r2=9at，
当t=0 时，上式恒成立，
当，.，，当且仅当时等号成立，
所以，在0＜a＜10 时r＜PC 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．
18．椭圆M： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．
①求·的取值范围；
②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由点P（0，2）关于直线y=﹣x 的对称点为（﹣2，0），且（﹣2，0）在椭圆M上，可得a=2．又，b2=a2﹣c2，解出即可得出．
（2）①当直线l的斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），即可得出．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），与椭圆方程联立消去y整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△＞0，可得4k2＞3，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得： =﹣1+．利用函数的单调性即可得出．
②由题意得，AD：，BC：，联立方程组，消去x得y，再利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（1）∵点P（0，2）关于直线y=﹣x 的对称点为（﹣2，0），且（﹣2，0）在椭圆M上，
∴a=2．又，故，则b2=a2﹣c2=4﹣3=1．
∴椭圆M的方程为．
（2）①当直线l的斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），∴=﹣1．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），
联立消去y整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，
由△＞0，可得4k2＞3，且，
∴=，
∴，
综上．
②由题意得，AD：，BC：，
联立方程组，消去x得，又4kx1x2=﹣3（x1+x2），
解得，故点Q的纵坐标为定值．
19．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，其中n∈N*．
（1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设A={k|ak=bk，k∈N*}，当数列{bn}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值．
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
【分析】（1）设数列{an} 的公差为d（d≠0），数列{bn}的公差为q（q≠0，1），利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）不妨设，可得a+bn=pqn，即，令，问题转化为求关于n 的方程qn﹣tn﹣s=0最多有多少个解．再利用分类讨论、函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）设数列{an} 的公差为d（d≠0），数列{bn}的公差为q（q≠0，1），
则，解得，
∴， 或﹣（﹣2）n．
（2）不妨设，则a+bn=pqn，即，
令，问题转化为求关于n 的方程qn﹣tn﹣s=0（*）最多有多少个解．
①当t＞0 时，∵q＞1，∴函数f'（x） 单调递增，∴当x＜x0时，f'（x）x0 时，f'（x）＞0，f（x） 单调递增，
∴方程（*）在（﹣∞，x0） 和（x0，+∞） 上最多各有1个解．综上：当n∈N* 时，方程（*）最多有3个解．
②当t＜0 时，同理可知方程（*）最多有3个解．
事实上，设时，有a1=b1，a2=b2，a4=b4，所以A的元素个数最大值为3．
20．已知函数f（x）=ex（alnx++b），其中a，b∈R，e≈2.71828自然对数的底数．
（1）若曲线y=f（x）在x=1的切线方程为y=e（x﹣1），求实数a，b的值；
（2）①若a=﹣2时，函数y=f（x）既有极大值，又有极小值，求实数b的取值范围；
②若a=2，b≥﹣2，若f（x）≥kx对一切正实数x恒成立，求实数k的最大值（用b表示）
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）①a=﹣2时，求出f（x）的导数，得到b=2lnx+，设g（x）=2lnx+（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的范围即可；
②取x=1得：k≤（2+b）e，只需证明ex（alnx++b）≥（2+b）ex对一切正实数x恒成立，首先证明ex≥ex，再证明lnx+≥1，从而求出k的最大值即可．
【解答】解：（1）由题意得：y=f（x）过（1，0），且f′（1）=e，
∵f′（x）=ex（alnx﹣++b），
则，解得：a=3，b=﹣2；
（2）①a=﹣2时，f′（x）=ex（﹣2lnx﹣+b），
令f′（x）=0，解得：b=2lnx+，
设g（x）=2lnx+（x＞0），g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，
∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，g（x）∈（1+ln2，+∞），
∴当且仅当b＞1+ln2时，b=g（x）有2个不同的实根，设为x1，x2，
故此时f（x）既有极大值，又有极小值；
②由题意得：ex（alnx++b）≥kx对一切正实数x恒成立，
取x=1得：k≤（2+b）e，
下面证明ex（alnx++b）≥（2+b）ex对一切正实数x恒成立，
首先证明ex≥ex，
设函数u（x）=ex﹣ex，则u′（x）=ex﹣e，
x＞1时，u′（x）＞0，x＜1时，u′（x）＜0，
得：ex﹣ex≥u（1）=0，即ex≥ex，
当且仅当都在x=1处取得“=”，
再证明lnx+≥1，
设v（x）=lnx+﹣1，则v′（x）=，
x＞1时，v′（x）＞0，x＜1时，v′（x）＜0，
故v（x）≥v（1）=0，即lnx+≥1，
当且仅当都在x=1处取得“=”，
由以上可得：ex（alnx++b）≥（2+b）ex，
∴=（2+b）e，
故k的最大值是（2+b）e．
2016年9月30日
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