吉林省吉林大学附中2017届高三9月月考数学文试卷（解析版）

2016-2017学年吉林省吉大附中高三（上）9月月考

数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共60分，每小题5分）

1．（2016秋·吉林校级月考）设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（?_UN）=（）

A．{1} B．{1，2，3，5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4，5}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】对应思想；定义法；集合．

【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可．

【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，

∴?_UN={1，4}，

∴M∪（?_UN）={1，2，4，5}．

故选：C．

【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．

2．（2016秋·吉林校级月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A．f（x）=0 B．f（x）=2^x+

C．f（x）=sinx+x D．f（x）=lg|x|+x

【考点】函数奇偶性的判断．

【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据基本函数的性质逐项判断即可．

【解答】解：对于A，既是奇函数，也是偶函数，排除A；

对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，排除B；

对于C，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，排除C；

对于D，不满足f（﹣x）=﹣f（x），也不满足f（﹣x）=f（x），既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，属基础题，熟记常见基本函数的奇偶性可提高解题速度．

3．（2016秋·吉林校级月考）设函数f（x）=

，若f（f（1））=1，则b=（ ）

A．

B．

C．1 D．2

【考点】函数的值．

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由已知得f（1）=

，f（f（1））=f（

）=

，由此能求出b．

【解答】解：∵函数f（x）=

，f（f（1））=1，

∴f（1）=

，

f（f（1））=f（

）=

，

解得b=

．

故选：B．

【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

4．（2015·北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

加油时间	加油量（升）	加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日	12	35000
2015年5月15日	48	35600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ）

A．6升 B．8升 C．10升 D．12升

【考点】一次函数的性质与图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．

【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；

故选：B．

【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．

5．（2016秋·吉林校级月考）下列命题，正确的是（ ）

A．命题“?x₀∈R，使得x₀²﹣1＜0”的否定是“?x∈R，均有x²﹣1＞0”

B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题

C．命题“若x²=y²，则x=y”的逆否命题是真命题

D．命题“若x=3，则x²﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x²﹣2x﹣3≠0”

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】综合题；对应思想；综合法；简易逻辑．

【分析】写出特称命题的否定判断A；举例说明B错误；写出命题的逆否命题并判断真假说明C错误；写出命题的否命题判断D．

【解答】解：命题“?x₀∈R，使得x₀²﹣1＜0”的否定是“?x∈R，均有x²﹣1≥0”，故A错误；

菱形的四边相等，只有一个内角为90°时为正方形，∴存在四边相等的四边形不是正方形为真命题，故B错误；

命题“若x²=y²，则x=y”的逆否命题是“若x≠y，则x²≠y²”，该命题是假命题，如2≠﹣2，但2²=（﹣2）²，故C错误；

命题“若x=3，则x²﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x²﹣2x﹣3≠0”，故D正确．

∴正确的命题是：D．

故选：D．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定、否命题及逆否命题，是中档题．

6．（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．

【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；

对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；

对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；

对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；

故选D．

【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．

7．（2015·北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

A．2+

B．4+

C．2+2

D．5

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=

，OE=

判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．

【解答】解：根据三视图可判断直观图为：

OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，

EA=2，EC=EB=1，OA=1，

∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，

运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=

，OE=

∴S_△ABC=

2×2=2，S_△OAC=S_△OAB=

×1=

．

S_△BCO=

2×

=

．

故该三棱锥的表面积是2

，

故选：C．

【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．

8．（2016秋·吉林校级月考）设x∈R，定义符号函数sgnx=

，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】函数的图象．

【专题】应用题；数形结合；定义法；函数的性质及应用．

【分析】根据新定义可得f（x）=|x|sgnx=

=x，问题得以解决．

【解答】解：函数f（x）=|x|sgnx=

=x，

故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，

故选：C

【点评】本题考查了新定义和函数图象的识别，属于基础题．

9．（2014·赤峰模拟）若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）

A．f（x）=e^x﹣1 B．f（x）=ln（x+1） C．f（x）=sinxD．f（x）=tanx

【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．

【解答】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，

分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，

故选：C．

【点评】本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进行排除．

10．（2016秋·吉林校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是BC₁、CD₁的中点，则下列说法错误的是（）

A．MN∥AB B．MN⊥AC C．MN⊥CC₁ D．MN∥平面ABCD

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC₁垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，即可得出结论．

【解答】解：如图：连接C₁D，BD，

∵A₁B₁与BD异面，MN∥BD，∴MN与A₁B₁不可能平行，A错误

∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；

∵CC₁⊥平面ABCD，∴CC₁⊥BD，∴MN与CC₁垂直，故C正确；

在三角形C₁DB中，MN∥BD，故MN∥平面ABCD，D正确．

故选：A

【点评】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键．

11．（2016秋·吉林校级月考）已知函数f（x）=x²+ax+b，a≠b，则f（2）=4是f（a）=f（b）的（）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．不是充分条件，也不是必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．

【分析】根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：若f（a）=f（b）则a²+a²+b=b²+ab+b，

即2a²﹣ab﹣b²=0，

则（a﹣b）（2a+b）=0，

∵a≠b，

∴2a+b=0，即b=﹣2a，此时f（2）=4+2a+b=4，即必要性成立，

若f（2）=4=4+2a+b，则2a+b=0，b=﹣2a，

则f（x）=x²+ax+b=x²+ax﹣2a，

则f（a）=a²+a²+b=2a²﹣2a，

f（b）=b²+ab+b=（﹣2a）²+a（﹣2a）﹣2a=2a²﹣2a，

则f（a）=f（b），即充分性成立，

即f（2）=4是f（a）=f（b）的充要条件，

故选：C

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．

12．（2016秋·吉林校级月考）已知函数f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]?D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：

①函数f（x）=

不可能是k型函数；

②若函数y=﹣

x²+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；

③设函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为

；

④若函数y=

（a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为

．

下列选项正确的是（ ）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】新定义；函数思想；综合法；简易逻辑．

【分析】根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．

【解答】解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，假设f（x）是k型函数，则方程

=kx有相异两实根，

即kx²﹣3x+1=0（k≠0）有相异两实根，∴△=3²﹣4k＞0，得k

．

∴假设成立，函数f（x）=

是k型函数，故①错误；

对于②，y=﹣

x²+x是3型函数，即﹣

x²+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，故②正确；

对于③，f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函数，则x³+2x²+x=kx有二不等负实数根，即x²+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，

∴

，解得0＜k＜1，故③错误；

对于④，y=

（a≠0）是1型函数，即（a²+a）x﹣1=a²x²，∴a²x²﹣（a²+a）x+1=0，

∴方程的两根之差x₁﹣x₂=

=

=

=

≤

，即n﹣m的最大值为

，故④正确．

综上，正确的命题是②④．

故选：D．

【点评】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是中档题也是易错题．

二、填空题（共20分，每小题5分）

13．（2016秋·吉林校级月考）函数f（x）=

的定义域为[1，+∞） ．

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．

【解答】解：由题意得：

4^x﹣2^x+1≥0，解得x≥1，

故答案为：[1，+∞）．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查指数的运算，是一道基础题．

14．（2016秋·吉林校级月考）若定义在R上的可导函数f（x）是奇函数，且对?x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立．如果实数t满足不等式f（lnt）﹣f（ln

）＜2f（1），则t的取值范围是（0，e） ．

【考点】函数恒成立问题．

【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式，然后利用函数是奇函数得到不等式f（lnt）＜f（1）即lnt＜（1），解得即可．

【解答】解：∵对?x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立，

∴f（x）在[0，+∞）为增函数，

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（x）在R上为增函数，

∴f（lnt）﹣f（ln

）=f（lnt）﹣f（﹣lnt）=f（lnt）+f（lnt）=2f（lnt），

∴不等式等价为2f（lnt）＜2f（1），

即f（lnt）＜f（1）．

∴lnt＜1，

解得0＜t＜e，

即实数t的取值范围是（0，e）

故答案为：（0，e）

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，先利用对数的性质将不等式进行化简是解决本题的突破点．

15．（2016秋·吉林校级月考）三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱SA=SB=SC=2

，底面三边AB=BC=CA=2

，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是 36π．

【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】证明S，A，B，C可看作正方体的三个顶点，三棱锥S﹣ABC的外接球为正方体的外接球，直径为6，即可求出三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．

【解答】解：由题意，三条侧棱SA=SB=SC=2

，底面三边AB=BC=CA=2

，∴SA，SB，SC互相垂直，

∴S，A，B，C可看作正方体的三个顶点，

∴三棱锥S﹣ABC的外接球为正方体的外接球，直径为6，

∴三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR²=36π．

故答案为：36π

【点评】本题考查三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确构造是关键．

16．（2016秋·吉林校级月考）若函数f（x）=e^x（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，则m的取值范围是1或4

或m≤0 ．

【考点】函数零点的判定定理．

【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】令f（x）=e^x（2x﹣1）﹣mx+m=0，可得m=

（x≠1），构造函数g（x）=

，确定函数的单调性，利用函数f（x）=e^x（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，求出m的取值范围．

【解答】解：令f（x）=e^x（2x﹣1）﹣mx+m=0，

可得m=

（x≠1），

构造函数g（x）=

，

g′（x）=

，

∴函数g（x）在（﹣∞，0），（1.5，+∞）上单调递增，在（0，1），（1，1.5）上单调递减，

∵g（0）=1，g（1.5）=4

，函数f（x）=e^x（2x﹣1）﹣mx+m有且只有一个零点，

∴m=1或4

或m≤0，

故答案为1或4

或m≤0．

【点评】本题考查函数零点的判定，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）（2016秋·吉林校级月考）已知命题p：“方程x²+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”；

命题q：“不等式3^x﹣m+1≤0存在实数解”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

【考点】复合命题的真假．

【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．

【分析】求出命题p、q为真命题时m的取值范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题时p、q一真一假，从而求出m的取值范围．

【解答】解：命题p：“方程x²+mx+1=0恰好有两个不相等的负根”为真命题时，

，即

，解得m＞2；

命题q：“不等式3^x﹣m+1≤0存在实数解”为真命题时，

3^x≤m﹣1，即m﹣1＞0，解得m＞1；

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，

当p真q假时，

，m的值不存在；

当p假q真时，

1＜m≤2；

综上，实数m的取值范围是（1，2]．

【点评】本题考查了复合命题的真假性问题，是综合性题目．

18．（12分）（2016秋·吉林校级月考）已知函数f（x）=

﹣4x+4．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）求 函数f（x）闭区间[﹣2，m]上的最小值．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）通过讨论m的范围，求出函的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x²﹣4，

令f′（x）=0，得x₁=﹣2，x₂=2，

当f′（x）＞0时，即x＜﹣2或x＞2时，函数f（x）单调递增，

当f′（x）＜0时，即﹣2＜x＜2时，函数f（x）单调递减，

当x=﹣2时，函数有极大值，且f（﹣2）=

，

当x=2时，函数有极小值，且f（2）=﹣

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，

若﹣2＜m≤2，则f（x）在（﹣2，m]递减，

f（x）_min=f（m）=

m³﹣4m+4，

若m＞2，则f（x）在（﹣2，2）递减，在（2，m]递增，

f（x）_min=f（2）=

﹣8+4=﹣

．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．

19．（12分）（2015·张家港市校级模拟）已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=

（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【考点】函数与方程的综合运用．

【专题】应用题；函数的性质及应用．

【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；

（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．

【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得

当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x²+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=

∴W=

；

（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x²+384x﹣40=﹣6（x﹣32）²+6104，∴x=32时，W_max=W（32）=6104；

当x＞40时，W=

≤﹣2

+7360，

当且仅当

，即x=50时，W_max=W（50）=5760

∵6104＞5760

∴x=32时，W的最大值为6104万美元．

【点评】本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．（12分）（2015·绵阳模拟）在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱BB₁⊥底面A₁B₁C₁，D为AC的中点，A₁B₁=BB₁=2，A₁C₁=BC₁，∠A₁C₁B=60°．

（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BDC₁；

（Ⅱ）求多面体A₁B₁C₁DBA的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

【专题】综合题；空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）证明AB₁∥平面BDC₁，证明OD∥AB₁即可；

（Ⅱ）利用割补法，即可求多面体A₁B₁C₁DBA的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：连B₁C交BC₁于O，连接OD，在△CAB₁中，O，D分别是B₁C，AC的中点，∴OD∥AB₁，

而AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC₁；

（Ⅱ）解：连接A₁B，作BC的中点E，连接DE，

∵A₁C₁=BC₁，∠A₁C₁B=60°，

∴△A₁C₁B为等边三角形，

∵侧棱BB₁⊥底面A₁B₁C₁，

∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥B₁C₁，

∴A₁C₁=BC₁=A₁B=2

，

∴B₁C₁=2，

∴A₁C₁²=B₁C₁²+A₁B₁²，

∴∠A₁B₁C₁=90°，∴A₁B₁⊥B₁C₁，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CB，

∵DE∥AB∥A₁B₁，

∴DE⊥平面B₁C₁CB，

∴DE是三棱锥D﹣BCC₁的高，

∴

=

=

，

∴多面体A₁B₁C₁DBA的体积V=

﹣

=（

）×2﹣

=

．

【点评】本题考查线面平行的判定，及线面垂直的判定，考查多面体A₁B₁C₁DBA的体积，解题的关键是正确运用割补法．

21．（12分）（2013·浙江校级模拟）已知函数f（x）=lnx，g（x）=

x²﹣bx（b为常数）．

（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；

（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；

（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|成立，求b的取值范围．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；函数的单调性与导数的关系．

【专题】计算题．

【分析】（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程，再和g（x）联立，利用根的判别求解即可．

（2）通过求h′（x），结合函数h（x）在定义域上存在单调减区间，转化为存在性问题求b的取值范围．

（3）要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|成立，即

＞

，利用导数的几何是切线的斜率，得到对于区间[1，2]上的任意实数x，|f′（x）|＞|g′（x）|，列出b的不等关系，从而得出b的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）=lnx得f′（x）=

，

函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1，切线方程为：y﹣0=x﹣1即y=x﹣1．

由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x﹣1代入得x﹣1=

x²﹣bx，即

x²﹣（b+1）x+1=0，

∴△=（b+1）²﹣2=0，解得b=

﹣1，

即实数b的值为

﹣1．

（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

x²﹣bx，

∴h′（x）=

+x﹣b，

根据函数h（x）在定义域（0，+∞）上存在单调减区间，

∴存在x＞0，使得

+x﹣b＜0，即b＞

+x，

由于当x＞0时，

+x≥2，

∴b＞2．

∴实数b 的取值范围（2，+∞）．

（3）对于区间[1，2]上的任意实数x，f′（x）=

∈[

，1]．

g′（x）=x﹣b∈[1﹣b，2﹣b]，

要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|成立，

若用注意到f（x）是增函数，不妨设x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），问题转化为|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|

等价于﹣f（x₁）+f（x₂）＜g（x₁）﹣g（x₂）＜f（x₁）﹣f（x₂）从而f（x₁）﹣g（x₁）＞f（x₂）﹣g（x₂）且f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），

即f（x）﹣g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，

利用导数的几何是切线的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，

即

＞|b﹣x|，于是x﹣

≤b≤x+

即（x﹣

）_max≤b≤（x+

）_min

∴

≤b≤2．

则b的取值范围[

，2]．

【点评】对于已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，则可得f′（x）≤0．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4—1：几何证明选讲]

22．（10分）（2016·漳州模拟）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O的割线，AC=AB

（1）证明：AC²=AD·AE；

（2）证明：FG∥AC．

【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．

【专题】选作题；推理和证明．

【分析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．

（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．

【解答】证明：（1）因为AB是ΘO的一条切线，AE为割线

所以AB²=AD·AE，

又因为AB=AC，所以AD·AE=AC²…

（2）由（1）得

．

∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，

∴∠ADC=∠ACE．

∵∠ADC=∠EGF，

∴∠EGF=∠ACE，

∴GF∥AC…（10分）

【点评】本题考查圆的切线、割线长的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

23．（2016秋·吉林校级月考）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+

，θ=φ﹣

与曲线C交于（不包括极点O）三点A，B，C．

（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=

|OA|；

（Ⅱ）当φ=

时，求三角形△OBC的面积．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程．

【分析】（I）当φ∈

，|OB|+|OC|=4cos（φ+

）+4cos（φ﹣

），展开可与

|OA相等|．φ∈

∪

时，同理可得．

（II）φ=

时，ρ_B=

，ρ_C=4cos

，φ+

﹣（φ﹣

）=

．利用直角三角形面积计算公式即可得出．

【解答】（I）证明：当φ∈

时，∴|OB|+|OC|=4cos（φ+

）+4cos（φ﹣

）=4

cosφ=

|OA|．

φ∈

∪

时，同理可得．

（II）解：φ=

时，ρ_B=

=2，ρ_C=4cos

=2

，φ+

﹣（φ﹣

）=

．

∴三角形△OBC的面积=

=2

．

【点评】本题考查了三角函数和差公式、极坐标的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

24．（2016秋·吉林校级月考）（Ⅰ） 求证：

；

（Ⅱ）若a，b，c是不全相等的实数，求证：a²+b²+c²＞ab+bc+ca．

【考点】不等式的证明．

【专题】证明题；转化思想；分析法；不等式．

【分析】（Ⅰ）用分析法证明，两边平方，化简即可证得；

（Ⅱ）用分析法证明，两边同乘以2，化简即可证得

【解答】解：（Ⅰ）要证

，

只要证

+

＞

+

，

只要证（

+

）²＞（

+

）²，

只要证21+2

＞21+2

，

只要证

＞

，

只要证110＞108，显然成立，

故

；

（Ⅱ）要证a²+b²+c²＞ab+bc+ca，

只要证2a²+2b²+2c²＞2ab+2bc+2ca，

只要证2a²+2b²+2c²﹣2ab+2bc+2ca＞0，

只要证（a﹣c）²+（a﹣b）²+（b﹣c）²＞0

∴a，b，c是不全相等的实数，

∴（a﹣c）²+（a﹣b）²+（b﹣c）²＞0，

∴a²+b²+c²＞ab+bc+ca

【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．