约数与倍数问题分析解答2

 　 已知自然数n的所有正约数的和是2n，则所有正约数的倒数和是多少?且证明你的结论.

　　考点：约数与倍数.

　　分析：先设自然数n的所有正约数分别为x1，x2，x3，x4，…，xm.然后根据题意列出式子化简求解.

　　解答：解：正约数的倒数和为2.

    设其正约数依次为：x₁，x₂，x₃，x₄，…，x_m．

     其中x₁=1，x_m=n，则x₁+x₂+x₃+…+x_m=2n，
    ∴

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xm-1

+

1

xm

，
    =（

1

x1

+

1

xm

）+（

1

x2

+

1

xm-1

）+…+（

1

xi

+

1

xm+1-i

），
    =

x1+xm

x1·xm

+

x2+xm-1

x2·xm-1

+…+

xm+1-i+xi

xi·xm+1-i

，
    =

2n

n

=2．

　　点评：本题考查了约数的概念及应用，进而求出所有正约数的倒数和.