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探源现代预测之术

    ——贝叶斯定理

“人生中最重要的问题，在绝大多数情况下，真的就只是概率问题。”

——皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（1749-1827）

你是否曾经想过，为什么有的人总是赌运气，而有的人却能准确地预测未来？

答案就在于概率。

这时候，我们不得不提到一个神奇的定理——贝叶斯定理。从物理学到癌症研究，从生态学到心理学，贝叶斯定理几乎像“热力学第二定律”一样放之宇宙皆准了，几乎所有学科都可以用这个公式做出精准的预测和决策。它是人工智能的“祖师爷”，是商业分析师必备定理！江湖传闻“万物皆可贝叶斯”！下面就让我们一起揭开“现代预测之术——贝叶斯定理”的神秘面纱吧！

一

托马斯·贝叶斯

01

18世纪英国神学家、数学家、数理统计学家和哲学家

02

1702年出生于英国伦敦,做过神甫,1742年成为英国皇家学会会员

03

他是概率论理论创始人,贝叶斯统计的创立者,“归纳地”运用数学概率,“从特殊推论一般、从样本推论全体”的第一人

贝叶斯定理是由英国数学家 Thomas Bayes 在 1700 年代末或 1800 年代初提出的。然而,他的这个理论一直未被广泛关注和应用,直到他的朋友,英国数学家 Richard Price 于1763年发表了一篇有关概率与统计的论文,其中提到了贝叶斯定理,成为第一篇公开发表有关贝叶斯定理的论文。此后,1800年 Pierre-Simon Laplace 独立发现并发表了一篇关于贝叶斯定理的论文,是第一篇详细解释和应用贝叶斯定理的作品。

二

公式推导

条件概率

条件概率表示为：P（B|A）,读作“在A发生的条件下B的概率”.

计算公式为：

乘法原理

在实际应用中,乘法原理通常用于计算多个独立事件同时发生的概率.其数学表达式如下：P(A∩B)=P(A)×P(B│A).

贝叶斯公式

假设有两个事件 A 和 B,它们的概率分别为 P(A) 和 P(B)，现在要求P(A|B).

条件概率式 

其中,P(A∩B) 表示 A 和 B 同时发生的概率.

乘法原理

 P(A∩B)=P(A)×P(B│A)

其中,P(B|A) 表示在 A 发生的条件下B 发生的概率.

现在可以将 P(A∩B) 替换为乘法公式的右边表达式

根据全概率公式,将 P(B)展开为：

其中 

    表示事件 A 不发生的情形.将上式带回贝叶斯公式中,可以得到：

三

典故新解

烽火戏诸侯

西周末年，昏庸的周幽王为博爱妾褒姒一笑，采纳了虢石父的建议，点燃了骊山烽火台。褒姒见千军万马召之即来，挥之即去，如同儿戏一般，觉得十分好玩，禁不住嫣然一笑。周幽王大喜，因而又数次点燃烽火，导致诸侯们都不相信烽火，也渐渐不来了。后来犬戎攻破镐京，杀死了没有诸侯来救驾的周幽王。

用贝叶斯定理计算：

设 

P(撒谎)=0.1

P(真话)=0.9

（先验概率）

P(敌人入侵|真话)=0.8

P(敌人没入侵|真话)=0.2

P(敌人入侵|撒谎)=0.3

P(敌人没入侵|撒谎)=0.7

可求得当敌人没入侵时周幽王撒谎的概率（后验概率）

  P(撒谎|敌人没入侵)

=(P(撒谎)×P(敌人没入侵|撒谎))/P(敌人没入侵)

=(P(撒谎) ×P(敌人没入侵|撒谎))/(P(撒谎)×P(敌人没入侵|撒谎)+P (真话) ×P(敌人没入侵|真话))

=(0.1×0.7)/(0.1×0.7+0.9×0.2)

=0.28(28%)

  P (真话|敌人没入侵)

=1- P (撒谎|敌人没入侵)

=1-0.28=0.72（72%）

可见，在周幽王撒谎五次后，就点燃烽火一事而言，他在诸侯心中基本没有了信任度，也难怪后来陷入孤立无援的局面。

将国事当儿戏，不禁惹得后人感慨：

良夜颐宫奏管簧，无端烽火烛穹苍。
可怜列国奔驰苦，止博褒妃笑一场。

  ——《东周列国志》

四

经典问题

01蒙提霍尔问题 

（三门问题）

有三扇门,其中一扇门后面有一辆车,另外两扇门后面分别有山羊。参赛者选择其中一扇门,主持人打开另外两扇门中的一扇门,显示出其中一只山羊。此时,主持人给参赛者提供一个机会,允许他更改选择。请问参赛者如果更改选择,获得车的概率会更大吗？

解答：

事件A和事件B可设定如下：

事件A为：第一次抽样为山羊；

事件B为：第三次抽样为汽车.

事件A完成后，我们将“从剩下两扇门中去掉一只山羊”变为一个固定步骤，然后再执行事件B。换门后能赢得汽车的概率问题，变为求事件B的概率P(B).

这里最终求的不是条件概率，需要使用贝叶斯公式的变形版本：

P(B)=P(B|A)×P(A)/P(A|B)

P(A)=P(第一次抽样为山羊)=2/3.

在第一次抽样为山羊发生的前提下，由于主持人确定会再去掉一只山羊，于是第三次抽样为汽车的概率为100%，即

P(B|A)=P(第三次抽样为汽车|第一次抽样为山羊)=1.

而第三次抽样为汽车发生的前提下，剩下两个门只能都是山羊，于是第一次抽样为山羊的概率也为100%，即 P(A|B)=P(第一次抽样为山羊|第三次抽样为汽车)=1.

于是，根据贝叶斯公式，
P(B)=P(第三次抽样为汽车)
=P(B|A)×P(A)/P(A|B)=2/3.

02别墅问题 

一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是:在狗叫的时候发生入侵的概率是多少?

解答：

我们假设 A 事件为狗在晚上叫，B 为盗贼入侵，则以天为单位统计，
P(A)=3/7，
P(B)=2/(20×365)=2/7300，
P(A|B)=0.9，
按照公式很容易得出结果：

P(B|A)=0.9×(2/7300)/(3/7)=0.00058.

03假阳性问题

已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人待病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大?

解答：

根据题目的条件，我们可以使用贝叶斯定理求解。

设事件A表示病人确实得病，事件B表示病人的检验结果为阳性，则：

P(A)=0.001，即病人确实得病的概率是0.001.

P(B|A)=0.99，即在病人确实得病的情况下，检验结果呈阳性的概率是0.99.

        = 0.05，即在病人没有得病的情况下，检验结果呈阳性的概率是0.05.

求解病人确实得病的概率，即P(A|B)：

首先

其中

      =1-P(A).

计算得到：

P(B)=0.99×0.001+0.05×0.999≈0.051

根据贝叶斯定理：

P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)

代入上面的值计算得到：

P(A|B)=0.99×0.001/0.051≈0.0194

因此，这个病人确实得病的可能性约为1.94%.

五

生活中的应用

01垃圾邮件过滤器

贝叶斯方法可以应用于垃圾邮件过滤器中,用来预测某个邮件是垃圾邮件的概率.这需要先知道一些先验概率（例如,垃圾邮件的比例是多少）,然后根据邮件中的关键词或其他特征来计算后验概率（即这封邮件是垃圾邮件的概率是多少）。

02医学诊断

在医学领域中,贝叶斯方法可以用来预测某种疾病的概率,这需要先知道某种疾病的基本概率,然后根据一些指标如血液检查结果等信息来计算后验概率,从而确定是否需要进一步进行特定检查。

03机器翻译

贝叶斯方法可以用来改善机器翻译的质量,例如,使用一个先验概率表示翻译中的某个词可能属于什么类型的短语,并使用选择最大化概率的方式来选择最佳的翻译。

04金融风险管理

贝叶斯方法可以用来预测某个金融产品价格变化的概率,这需要先知道某个投资产品的基本概率,然后根据市场信息和经济指标等因素来计算后验概率,从而确定变化的可能性。

六

哲学联系

01做行动派

不行动意味着你失去了获取新信息的可能，错过了进步的机会。贝叶斯告诉我们给我们提供了一个很好的思路: 先做一个预判，动起来，利用新的信息不断修正原来的预判。

02初始概率很重要

初始概率越准确，我们就能越容易、越快速的得到真实的概率。而如何获得相对靠谱的初始概率，是个硬功夫，它需要你的经验和平时的深度思考，有时甚至和底层的价值观、思维方式都有关。

03对特殊情况要足够重视

贝叶斯定理告诉我们，万分之一概率的事情，也有可能因为特殊事件，一下子变成了50%。所以，每当出现特殊的、罕见的情况时，我们要保持高度警惕。

04信息的收集、质量、判断，是提高决策水平的最重要环节

在做决定之前，尽可能多的收集信息是必须的。但是错误的信息、低质量的信息，会让你的修正偏离真相越来越远，你能不能区分信息来源的可靠性、能不能进行交叉验证、逻辑推理，就显得至关重要。

撰稿 | 托马斯小火车队

排版 | 托马斯小火车队