理解微积分真谛：微分方程

精要复习

前面我们讲了导数/微分：

“导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。

引出了积分：

不定积分，是把函数降维投影，求到了一系列的投影 F(x) +C。

定积分，是“原因”f(x) 经过一段过程（a to b）所造成的结果改变。

微分方程

如果您从前面的专栏一路学过来，就会有一种感觉，“微积分”的核心对象并不是“微分”与“积分”，其实应该是：

原函数 与 导函数

而微分积分只是研究原函数与导函数之间关系的一种方法。

规律，就是函数

如果，我们知道原函数与导函数之间的关系，如何求出原函数呢？这就是：

微分方程（Differential equation，DE）

比如，函数 y=x 的导数为1，那么反过来问：什么函数的导数为1呢——

y' = 1

这就是最简单的微分方程了。解就是：

y = x+C

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的——

阶

所以上面就是一阶微分方程。

那为啥解里多个 C 呢，因为很显然，x+C 的导数也是1呀，它也满足方程给出的条件。

除非再加个条件：

y(0) = 0

这样，解就只能是 y=x 了，这种条件叫做

微分方程的初始条件

微分方程——DE

微分方程的应用

微分方程的应用太多太多，甚至我们可以说，微积分能有今天这种科学基石的地位，很大一部分来自微分方程。

例几个应用一看便知：

力学

• 动力学中的牛顿第二运动定律
• 欧拉－拉格朗日方程
• 哈密顿力学

热力学

• 热力学中的牛顿冷却定律
• 热力学中的热传导方程

电磁学

• 麦克斯韦方程组

流体力学

• 纳维－斯托克斯方程
• 对流－扩散方程

导管中气流的仿真：纳维－斯托克斯方程

材料学

• 泊松方程

生物学

• 威尔霍斯特方程–生物族群增长模型
• 生物个体增长模型
• 洛特卡－沃尔泰拉方程–掠食者和猎物的动态模型

经济学

• 布莱克-休斯方程
• 索洛模型
• 马尔萨斯模型

太多了

• 广义相对论中的爱因斯坦场方程
• 量子力学中的薛定谔方程
• 复变分析中的柯西－黎曼方程
• 分子动力学中的泊松－玻尔兹曼方程

根本数不过来，可以说，没有微分方程，就没有现代科学。

为啥应用这么广

还记得我们前面讲过的么——

“导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。

要解释物体的位移现象，就要研究速度；要解释速度，就要研究加速度。

研究一个量的导数的规律，才有可能从根本上理解这个量的规律。

微积分——研究世界的内在规律

解微分方程

列出微分方程就算是解决了一大半问题，另一半就是解方程了。

然而事实上，微分方程不太好解，教材上一般也就列举了几种很特殊的微分方程的解法，但其实真到了使用微分方程的时候，往往不在这几种列举的范围之内。

所以，除要考试或以数学为专业外，建议不要花时间在学习如何手算解微分方程上。

这个时代，直接用计算机求解呗！这么好的工具，一定要擅于使用。

'君子生非异也，善假于物也'

——《劝学》

计算机是最好的帮手

MATLAB求解微分方程解析解

求微分方程的解析解，就是要求出函数的表达式。

MATLAB中，一般用这个函数就能搞定：

dsolve

例，解方程：

syms a y(t)eqn = diff(y,t) == a*y;dsolve(eqn)ans =C2*exp(a*t)

简单吧，注意方程里的等号，要写成“==”。

（MATLAB中，==表示等于，=表示赋值）

高阶的也一样啊：

syms y(t) aeqn = diff(y,t,2) == a*y;ySol(t) = dsolve(eqn)ySol(t) =C2*exp(-a^(1/2)*t) + C3*exp(a^(1/2)*t)

如果有初始条件，就把初始条件也写成一个方程的形式，跟在方程后面，如：

syms y(t) aeqn = diff(y,t) == a*y;cond = y(0) == 5;ySol(t) = dsolve(eqn,cond)ySol(t) =5*exp(a*t)

微分方程数值解

其实，能求出解析解的微分方程并不多，基本都是“线性微分方程”和“低阶的特殊微分方程”，一般的非线性微分方程根本求不出解析解，只能求出数值解。