【编者按】遥墙中学是山东省济南市高新区地处“农村”（遥墙机场旁侧）的一所城市初级中学。多年以来，种种原因使得这所学校处于维持状态，教学质量十分低下。近两年多来，在石希同校长的引领和推动之下，以“3+2”课堂教学改革为突破口，振奋学校精神，涵养学校正气，强化教学管理，矢志教学创新，学校大踏步走上规范，奔向卓越，中考成绩连续两年大幅提升（平均分连年提高两个三十多分），可谓教育教学改革和学校创新发展的一个奇迹！这再一次表面，坚持两手抓两手硬（一手抓常规落实，一手抓改革创新）的发展策略，是科学和有效的。
这里刊发的是该校数学教研组长杜冠华老师带头磨课的有关资料，供同仁们参考交流。
《探索与表达规律》的反思
杜冠华
历经一周的研读教材、精心设计以后，我信心满满的将我的设计和思路，与崔主任和数学组的全体老师交流，到上课、磨课后的不自信、再到二次上课，虽然一路艰辛，但收获满满，这是任何一个不亲自参与其中的老师很难体会的，整个设计、交流、上课、磨课、在上课的过程中，我对一下几点有着深刻的体会：
1、教学目标和学习目标不一致
本节课课标要求：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，进一步理解用字母表示数的意义。
本节内容是在学生学习了“用字母表示数”、“列代数式”、“去括号”、“合并同类项”等知识的基础上进行的，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，对学生体会数学建模具有重要的作用。“探索与表达规律”是字母表示数的一个重要内容，探索规律是对抽象地分析数学对象的开始，是今后学习方程、函数等内容的基础。首先要使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型；其次使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
为此我将教学目标设定为：
1．经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用。
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性。
3.解释具体问题中蕴含的一般规律或现象。
但在设计学案时，我为了将教学目标具体化，在学案中我给学生出示了如下目标：
1.观察日历中3×3方框里九个数之间的关系，发现规律，并用代数式表示规律.
2.用合并同类项和去括号法则验证规律.
3.能运用所总结的规律解决问题.
经过研讨老师们认为，学习目标认为的降低了课标和教学目标的要求，我们本节课是要通过日历中的规律来发现探索规律的一般方法，它只是一个学习的素材而学习目标拘泥于题目之中，，缺少了由特殊到一般和由一般到特殊的过程。
后来上课时我将学习目标与教学目标一致起来，通过展示学习目标，提高了学生的学习定位，在整个过程中学生认真探究日历中的规律解决问题，更通过问题的探索与应用提出了探索规律的一般方法。
由此我深刻体会到，学习目标的制定对整个学习过程起到一个指挥棒的作用，可以将教学目标通过“理解、应用、学会”等动词展示出来，但不能认为的降低标准，否则就降低了整节课学生学习的达成度，降低学生的思维发展。
2、预习检测的去留
在一开始的设计中，我设计了一个预习环节，如下：
并通过填表思考：当中间的一个日期为a时，如何表示？
设计目的：通过预习环节的设置，为学生解决日历中的规律铺设一个台阶。为3、4号同学的学习提供帮助。
崔主任认为：这样的设计没有必要，月历学生应该都有生活体验，不用人为的设置这样的过程，而第二问用字母a表示，提前把问题的探索过程通过老师的讲解提前完成了，既耽误了时间，学生后面的探索也没有意义了，还是要把课堂还给学生，自己探索，建议去掉这个过程。
第一次上课：由于我的不放心，我还是保留了这个环节，但做了适当的调整，变成了如下的样子：
课上，通过学生的回答，以及我的追问，大部分学生能发现表格中的规律，并能用字母去表示，这样再去推进活动1时，我发现学生的独立思考、小组交流都很顺利，我蛮以为这样的设计取得了应有的效果，但从课后的回放看，预习的设计和活动一重复性太大，而且也缩小了学生的思维空间，同时由于这样的设计，仅仅预习环节就占用了15分钟，使得后面的活动2没有时间完成，真正体会到了崔主任砍掉这一环节的用心所在。
有了第一次上课的经历和发现的问题，我对本节课的设计进行了第三次又该，删掉了预习环节准备在展示完学习目标后直接抛出教材中的问题，此时老师们建议直接给出九宫格，让学生探索其中的规律，这样的设计比起教材的设计更开放，但也更难把握课堂，我内心还是矛盾的，但最终我还是采取老师们的建议，在第二次上课时发现学生的探索和交流出乎我的预设，总结的规律涵盖了九宫格中的所有规律，并直接给出了我们下面要解决的问题，应该说这样的设计取得了成功。这让我深刻体会到了崔主任常说的 “隐导为师，放还是爱”。
3、教学设计不应仅仅停留在目标的设定、素材的选择、方法的提炼上，更应该设计好语言、要对课上学生的探究做好预设，有相应的对策，充分利用好课上生成的资源，利用好每一个细节，才能收获好的效果
以上是我本次上课一点收获和反思。
谢谢学校给了我这次学习和实践的机会、谢谢崔主任的指导、也谢谢我的孩子们，是你们给了我研究课堂、改善课堂、收获课堂的快乐
《探索与表达规律》的评课记录
第一次课（试讲）评课记录：
崔教授、李光秀主任和各评课老师都充分肯定了杜老师的课，非常朴实、实效，不花哨、不造作，同时也及时点评杜老师课堂每个环节中存在的不足，提出了宝贵的建议：
崔教授：
教学语言要有准确、简练，有亲和力，语调要抑扬顿挫，有缓有急，要能抓住孩子们的心，吸引学生注意力。课堂中切记说的多、重复多、提示多，限制学生思维。要充分相信学生，该“放还”就“放还”。学生起来回答问题，老师要耐心倾听，不要随意打断。鼓励学生多做多思考，让学生自己总结结论并叙述，别让学生“隔空喊话”，有的时候可以去讲台展示。
王超老师：
课堂就是：问题让学生提，规律让学生讲。老师要不断引导、点拨、激励学生，少讲，注重思维训练，让学生真正动起来，而不是老师牵着学生走。
李红霞老师：
整节课推进偏慢，个别环节耗时太长，可适当删减。另外，可适当设计有层次的问题，让每个层次的学生都有收获。
李连军老师：
老师本人要具备大概念教学的意识，主题是什么，要做到心中有数。
李光兰老师：
课堂中教师的仪态要特别注意，不要随意晃动，扰乱学生思维。
第二次课（展示）评课记录：
崔教授：
教师上课面对的是一个变化的、开放的、动态的、生成的课堂，课堂上的每一分钟，都考验着教师的应对能力。“预设”与“生成”之间怎样调整，怎样达到平衡，应给与我们更多的思考。通过磨课，也许我们在磨课中教学的方法变了，但教学的方向没变；也许我们教学时知识的存在方式变了，但是教学的本质没变。思想的碰撞更能闪出创新的火花，合理的借鉴又是创新的开始。
李红霞老师：
杜老师奇思妙想，用简单的方法引导孩子们解决数学问题。而且我们应该继续坚持关注后进生，不抛弃不放弃每一个孩子。
李芳老师:
我们要多给孩子们小组合作的时间，尽可能多的给孩子们提供展现自我和交流的机会。陈冲老师:
教师不能为了完成教学进度，让课件牵着鼻子走。
杜林老师:
教师不能打压孩子们的热情，大胆地放手，把舞台还给孩子们，这正是以后我们努力的方向。
时连强主任：
一节课不是看老师讲了多少，而是看学生学会了多少。我们要改变以教师为中心的传统教育模式，改变单纯灌输的落后方法，让学生变被动接受为主体参与。实现让教师领着学生走向知识，而不是领着知识走向学生。
李光秀主任：
无论哪个备课组，一定要把3+2课堂下的集体备课做实做细，把集备发展到“吵架”。磨课就要有一股磨劲，磨理念、磨学法、磨教法才能赋予课堂第二次生命。教师要上出一节好课，其实就是一个不断否定、不断完善、众里寻她千百度、让顽石通透金属般质地的过程。
石校长：
正是由于崔教授的指导，老师们的集思广益，杜老师才给我们呈现了这么精彩的展示课。所以我们要相信“相信”的力量。作为教师，不仅要相信我们自己，更要相信我们自己的学生。大胆放手，抓住孩子们思想的火花，才能点燃整个课堂。第二，态度第一，业务第二。杜冠华老师作为数学组教研组长，敢于担当，值得我们学习。活到老学到老。只有无数次的试教，不断的修改，才能真切感受到课堂教学的生成性本质，才能增强自己可持续教学的能力。
磨课正如侠客十年磨一剑、修炼得道一样，不仅仅是追求完美的课堂，而是教师专业成长的一种历练，更是学校教师团体发展的主打平台。让我们在磨课中敢于探索，勇于实践，磨出教师创新思维的火花，磨出孩子们最精彩的表现！
【教案】
3.5 探索与表达规律（1）
一、课标要求：
体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，进一步理解用字母表示数的意义。
二、教材分析：
本节内容是在学生学习了“用字母表示数”、“列代数式”、“去括号”、“合并同类项”等知识的基础上进行的，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，对学生体会数学建模具有重要的作用。“探索与表达规律”是字母表示数的一个重要内容，探索规律是对抽象地分析数学对象的开始，是今后学习方程、函数等内容的基础。首先要使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型；其次使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
重点： 探索实际问题中蕴涵的关系和规律。
难点：用字母、运算符号表示一般规律。
三、学情分析：
学生通过对本章前几节知识的学习，已经具备了初步的语言表达能力及符号表示能力，并且在小学已经渗透了一些简单的找规律的题目和方法，为本节课的学习提供了一定的学习经验。学生的学习习惯和认知水平与以往相比也均有明显提高，在此基础上研究探索规律问题，无论是思想上还是方法上都具备了良好的契机。
日历问题是学生非常熟悉的情境，同时数量关系的规律比较容易发现。问题重心在于用字母表示并借助运算将具体规律推广到一般,这是由不同层次的问题组成的“问题串”.本节课可通过学生合作探究和交流，让学生之间相互学习，取长补短，相互激发灵感，开拓思维。但用符号表达规律对学生来说还有一定的难度。
四．教学目标：
1．经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用。
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性。
3.解释具体问题中蕴含的一般规律或现象。
五．教学过程：
创设情境：
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，……，
（1）请问数字20落在哪个手指上？
（2）你们能很快地说出数字200落在哪个手指上吗？2000呢？
设计意图：通过数手指的游戏，激发学生探究的欲望，同时感受探索规律的必要性
活动1：数的变化规律——日历中的数学
（1）观察日历中矩形方框内九个数，他们之间有怎样的关系？
活动要求：
（1）自主探究（2分钟）
（2）小组交流（2分钟）
（3）小组展示：展示得到的规律
（4）组间互动：质疑与补充
（2）日历中矩形方框内九数之和与方框中正中间的数有何关系？你是怎样得到的？
（3）这个关系对其他这样的方框成立吗？自己在日历中框一框
a
活动要求：
（1）自主探究（2分钟）
（2）小组交流（2分钟）
（3）小组展示：3号或2号
猜想：方框中九个数的和是正中间数的9倍．
（4）你能验证发现的规律吗？
活动要求：
（1）自主探究（2分钟）
（2）小组交流（2分钟）
（3）小组展示：3号或2号
（4）组间互动：质疑与补充
通过小组的合作交流引导学生发现可以用字母表示九宫格里的数，从而相加得出结论，注重学生的表达与合作
总结： 规律：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数
应用练习：
1、如果你从日历中任意框出3×3九个数之和为153，请问这九个日期分别是几号？（独立完成）
2、你还能在日历中设计其他形状的包含数字规律的数框吗？（在前面的日历中自己画一画）
活动要求：
（1）独立思考（2分钟）
（2）小组交流（2分钟）
（3）小组展示（3分钟）
对学生给出的图案进行投屏展示，并提问蕴含的规律，采用组建互动的方式完成
总结：探索规律的一般步骤：
学生自主总结，个别展示，引导学生形成思路
设计意图：
教学中用屏幕显示日历图中的套色方框，让学生自主探究问题串，然后生生之间、
师生之间相互交流，目的在于通过学生自主探究和合作交流的学习方式，让师生共同经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，进一步发展其符号感；让学生经历从特殊到一般再到特殊的认识过程，发展其辩证唯物主义观点。鼓励学生用不同的思维方式，可以有不同设法，分别尝试比较，得出最佳方案，培养学生发散思维能力。通过探讨、归纳来总结规律是这一环节的主要目的。
活动2：图形的变化规律
设计意图：
教学中学生生最直接的思考方式就是从图形上获取规律，教师用课件显示图形摆放规律，让学生经历从感性到理性的思维上升过程，从而从图形的摆放方式上探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律，进一步发展其符号感；但是我们要鼓励学生用不同的思维方式，所以教师可以引导学生将图形的规律转化为数的规律来研究，从每一个图形所对应的数来探究，得到规律。
活动二：图形中的规律
方案1、按下图方式摆放餐桌和椅子填表：
填表：
桌子张数
1
2
3
4
5
6
…
n
可坐人数
…
解决问题：
（1）一家餐厅有这样的长方形桌子30张，一共可以坐_____人。
（2）若现在有131位客人去吃饭，那么需要摆放_______张桌子。
活动要求：
（1）自主完成（2分钟）
（2）组内交流（3分钟）
（3）小组展示
方案2、按下图方式摆放餐桌和椅子
桌子张数
1
2
3
4
5
6
…
n
可坐人数
…
思考：在桌子数相同时，哪一种摆法容纳的人数更多？
要求：独立完成
自己总结一下图形中的规律问题解决的方法
课堂小结内容：
请学生谈谈学习本节课的收获和体会，包括探索规律的基本知识和基本方法。
设计意图：
由师生交流来“归纳小结、评价升华”，一方面是通过对全课的回顾帮学生梳理
知识体系，归纳学习方法，了解其学习情况，提升其思维层次。另一方面是给学生准确、全面表述自己观点的机会，并培养学生及时总结、归纳知识的好习惯。
解决问题：完成开始的问题
【学案】
3.5 探索与表达规律（第1课时）学案
学习目标：
1．经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用。
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性。
3.解释具体问题中蕴含的一般规律或现象。
活动一： 数的变化规律
（1）观察日历中矩形方框内九个数，他们之间有怎样的关系？
（2）日历中矩形方框内九数之和与方框中正中间的数有何关系？你是怎样得到的？
（3）这个关系对其他这样的方框成立吗？自己在日历中框一框
a
（4）你能验证发现的规律吗？
应用练习：
1、如果你从日历中任意框出3×3九个数之和为153，请问这九个日期分别是几号？
2、你还能在日历中设计其他形状的包含数字规律的数框吗？（在前面的日历中自己画一画）
综合建模：自己总一下探索规律的一般步骤
活动二：图形中中的规律
方案1、按下图方式摆放餐桌和椅子填表：
填表：
桌子张数
1
2
3
4
5
6
…
n
可坐人数
…
解决问题：
（1）一家餐厅有这样的长方形桌子30张，一共可以坐_____人。
（2）若现在有131位客人去吃饭，那么需要摆放_______张桌子。
方案2、按下图方式摆放餐桌和椅子
桌子张数
1
2
3
4
5
6
…
n
可坐人数
…
思考：在桌子数相同时，哪一种摆法容纳的人数更多？
综合建模：自己总结一下图形中的规律问题解决的方法
解决问题：
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，……，
（1）请问数字20落在哪个手指上？
（2）你们能很快地说出数字200落在哪个手指上吗？2000呢？
课堂小结：
1、本节课，你学习了哪些知识和方法？请梳理概括出来。
2、本节课，各小组合作得怎样？请评价员作简要点评。
【课件】
