投资市场有个著名的数学公式,叫做凯利公式。同时由此公式引发了等价鞅策略与反等价鞅策略两种仓位控制方法,但几乎百分之八九十的赌徒都会选择等价鞅策略,这也是为什么这个世界会有二八定律的原因。
下面我跟简要的介绍一下这两种方案:
(1)等价鞅论(倍投方案),就像传说中的阿拉伯海盗赌钱一样,每次下注,如果输掉,那么下一次就把赌注加倍,这样,直到你赢了为止。这样,只要赢一次,以前的本就都回来了。然后再把赌注恢复到最小。 这样的前提是: 你必须有“无穷多”的资金。
(2)反等价鞅论,每次下注,都严格的下所剩的资金的一个固定比例。这样,假设资金无限可分。那么他可以亏无数次,因为“日取其半,万世不竭”。但是呢,在赢钱了以后,却仍然按照这个固定比例下注,也就是说,赢的钱越多,下的注越大。
鞅论的观点是:在理想情况下,第一种,也就是等价鞅论,是可以赚钱的,这个“理想情况”,就是你本来就有无穷多的钱。而我们不可能有无穷多的钱,于是,要想稳定赚钱,必须使用“反等价鞅论”。
如何下注很需要技巧。 押太少了浪费机会,押太多了“牺牲”的风险大增。 什么才是不多不少的合适赌注呢?
1956年,科学家凯利(John Kelly)就此发表了论文,提出了著名的凯利公式。
f* = (bp - q) / b
其中,f* = 投注金额占总资金的比例
p = 获胜的概率
q = 失败的概率,q = 1-p
b = 赔率,例如在轮盘赌中押单个数字,b = 35,押红黑,b = 1。
我们来讲下的21点下注问题,假设总赌本10,000美元,玩家取胜的概率是51%,赔率1:1(实际胜率和赔率略有偏差,但相距不大),那么凯利公式给出的最佳赌注是:
$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200
我知道很多人看到数学公式就头大,但要做好投资没法不用到数学。
最重要的不在于带公式计算数字,而是要弄明白公式背后真正的“意思”。
首先,公式中分子的bp - q 代表“赢面”,数学中叫“期望值”(expectation),凯利公式指出:正期望值的游戏才可以下注,这是一切赌戏和投资最基本的道理,也就是前面讲的“没有把握,决不下注”。
其次,赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下,赔率越小越可以多押注。 这一点不容易直观理解,我们用个例子来说明。 下面三个正期望值的游戏,你看看选哪个:
1. “小博大”:胜率20%,赢了1赔5,输了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%
2. “中博中”:胜率60%,1赔1。bp - q = 1*60% - 40% = 20%
3. “大博小”:胜率80%,1赔0.5。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%
三个游戏的数学期望值一样,都是20%,或者说押100元平均赢20元。 按大部分国人的赌性,恐怕会选“小博大”游戏吧? 但是用凯利公式中的“b”一除,“小博大”游戏只能押总资金的4%,“中博中”可以押20%,“大博小”可以押40%。 赢钱速度“大博小”快多了! 前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗? 说的就是这个了。
最后,凯利公式指明了风险控制的至关重要性:即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。 从数学上讲,押注资金比例超过了凯利值,长期的赢钱速度反而下降,还会大大增加出现灾难性损失的可能性。 举个极端的例子,如果你每手都押上全部资金,那么不管你赢过多少钱,只要输一次就立刻破产。正所谓:辛辛苦苦几十年,一夜回到解放前。
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