哥德尔定理和物理学终极理论

今天和一个北大的同学聊天，听他说哥德尔定理对物理的影响，感觉这个问题很有意思。上网一查，原来Hawking也在思考这个问题。（又是Hawking，这几天巧得很，随便想几个问题，看几篇文章，追根问底到最后都是Hawking的工作。例如4－form场或虫洞解释宇宙常数问题，时间方向等等。）不过没有看到Hawking因为这个事情写文章，只是在新闻网站上看到他到处做这方面的报告，有信息量的资料很少，甚至看不出Hawking是认真的还是仅仅一个类比。

据说哥德尔定理很容易被误解。我大四卖了《皇帝的新脑》后就没有介绍这个定理的资料了，凭借记忆中残留的印象和网上的少量信息胡扯几句。

哥德尔定理告诉我们，任何复杂到包含初等数论的形式系统中，都必定存在无法判定真假的命题。

如果物理学有一个真正的“万物理论”，那么，这个万物理论的数学结构也是由有限个公理及其推论组成的。由哥德尔定理，其中必然存在不能用这有限个公理推出的命题。但哥德尔定理本身没有告诉我们这些无法判定真假的命题在哪里。那么让我们猜一猜，它们躲在哪里呢？

1.量子力学的不确定性。在教科书的量子力学中，因为测量的存在，“波包坍缩”是一个随机的过程。即，我们不能判断测量之后体系跃迁到一个还是另一个本征态。但是，在将宇宙作为一个波函数的闭系统量子力学中，因为我们把测量归结为小系统和环境的相互作用，或者历史的粗粒化，“测量”在量子力学中的本质地位并非不可动摇，以致（据说）大牛如't Hooft也开始相信决定论。所以，这并不是不可判定性足够安全的栖身之所。

2.视界之外。作为合适的限制，“不可判定”应该指“我们”的不可判定，而不是一个能够知道宇宙全部信息的存在的不可判定（否则这个存在不是极端非定域的就是已经变成黑洞了:)）那么，在我们的视界之外，因果不连通区域内的问题我们无法得到解答。但是，这个藏身之所也涉及到几个问题，即，首先，如若对信息的了解是定域或接近定域的，哥德尔讨论的我们要去判定的问题是否也应该是定域或接近定域的？这要仔细分析一下哥德尔的证明才能下结论。第二，物理中的初始条件对应到数学里应该是公理还是什么东西？物理问题的解答是通过初始条件和公理同时推出的，这样看来，初始条件也应该算作公理。这样，公理数增加至宇宙状态数的量级，并且在我们考虑开或平宇宙且放松定域性条件时增加到无穷大，使哥德尔定理失效。

3.混沌、自发破缺、涌现。自然界以及思维中有很多自发现象，这些自发现象能否用还原论解释是有争议的。这也是一个可能的不可判定性来源。但是，对于相信还原论的人来讲，这等同于量子力学的不确定性和对初条件的强烈依赖性。

4.约定以及非物理部分。一个理论难免有各种对称性，由此可能产生非物理的自由度以及非物理的参数。因为给定的物理的初始条件和公理不能回答任何非物理的问题，这也导致了哥德尔定理中的存在性。如果我们把非物理的初始条件也包含到理论的数学结构中作为公理，则这些非物理的初始条件不受信息太多成为黑洞的条件限制，则可能出现无穷多公理以避免哥德尔定理问题。问题是如Siegel在他的量子场论书里面说的，有可能这些对称性我们都可以消除掉。一个理论中是不是所有对称性都可以消除（例如规范固定），我是不清楚的。

如果一个理论能回答几乎所有问题，但是不能给我上述提出的四个问题以答案，我相信人们仍然会认为它具有终极理论的资格。所以，如果哥德尔的no-go在上述方面，则哥德尔定理不影响终极理论的诞生。尤其是初始条件的argument，我认为是物理和数学区别的一个关键。

如果再出现一个哥德尔一样的牛人，从数学上告诉我们这样不可判定的命题存在于何处，至少给出一个范围，那么应用到物理中，例如量子力学的不确定性源于哥德尔定理……这将是一个非常伟大的no-go定理。