《记陈省身先生讲授“微积分及其应用”》

材料简介：白承铭《记陈省身先生讲授“微积分及其应用”》

2001 年10 月11 日下午, 南开数学研究所大讲演厅内座无虚席, 世界著名数学家陈省身先生要给大家来上基础课了. 4 时整, 我们尊敬的陈先生不顾已经九十高龄, 坐着轮椅准时来到讲演厅,开始给大家讲授《微积分及其应用》的第一讲.

这次活动是在陈先生本人倡导下, 由南开大学、天津大学“刘徽应用数学中心”举办的《应用数学》系列课程的第一门课程, 并由陈先生亲自主讲. 陈先生要给大学本科生上基础课的消息传开后,不仅在南开大学和天津大学, 而且在整个天津地区的高校都产生了很大的震动, 许多学校的学生甚至很多教师纷纷要求听课. 但是由于演讲厅条件所限, 所以只能采取限制名额的办法, 最终听众是以南开大学和天津大学两校的大二, 大三学生为主, 并有少量天津市其他高校的学生和青年教师.即使这样, 每次仍然有很多没有报上名的学生站在过道和走廊里听陈先生的演讲, 大家的热情可见一斑. 同时, 陈先生的报告也吸引了很多教师参加, 甚至还有在南开大学访问的外籍学者, 如美国布朗大学的 Bruno Harris 教授就一次不落地听完了全部演讲.

陈先生曾经计划讲《微积分及其应用》八次, 但是期间因身体不适住院两周, 到11 月30 日的最后一次(12月初已经先期安排了其他课程) , 共讲了六次. 陈先生在住院期间仍然念念不忘他的课程和学生, 他一出院, 就赶快备课并准时出现在讲台上, 他的这种敬业精神使所有人都非常感动, 并且也给年轻人树立了良好的榜样. 大师给学生们上基础课, 不仅为学生们带去了对基础知识更为深刻的理解, 更为我们的大学教育带来了新鲜风气, 教师们也从中学到如何真正地为人师表.

微积分课程本身作为大学生基础课并不是很难, 难的是如何看待微积分里众多的命题和定理,以及为什么要有它们. 想弄懂这些, 就必须站在一定的高度来观察分析, 这不仅要对微积分本身有很深的理解, 还需要对更深一步的知识有很好的把握, 陈先生就是这样的一位数学老师. 陈先生讲得深入浅出, 引人入胜, 他用非常简洁的语言, 形象的说明给大家讲授了微积分学的基本定理以及在微分几何上的应用. 同时他那严谨却不枯燥、风趣中又一丝不苟的讲课风格, 更告诉我们数学大师是如何授课的. 听过陈先生课的人, 都领悟到他在谈笑风生之间已经将深奥的数学知识中精辟的传授给了大家. 所有人都感到获益匪浅, 这可以从听课的学生们交上来的读书报告中清楚地看出来. 有学生说:“大师就是大师, 讲得就是好”,“很通俗, 很好懂”。

为了使更多的人能够了解陈先生演讲的内容, 我作为陈先生的助教, 根据陈先生演讲录音进行了整理, 在下面简要地作一介绍. 由于本人水平有限, 错误在所难免, 仅供大家参考. 陈先生认为“微积分的范围很广”, 因为时间关系, 这个课程“只能讲个大概, 尤其是介绍整个的有一些意义的问题”.“应该提一提微积分整个的影响或者是在哪些方面向前发展了. 可以说, 微积分向前发展大概
有两个最重要的方面: 一个是在几何的应用, 另一个是复数.” 陈先生着重讲的是微积分学的基本定理以及在微分几何上的应用. 他的演讲主要包括“微分和积分”(1讲) ,“指数函数与对数函数”(1讲) ,“曲线论”(1讲) 和“曲面论”（1讲)与“ Gauss-Bonnet 公式”(2讲). 以下是陈先生演讲的记录稿, 由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等教授记录整理,曾分期刊登于《高等数学研究》. 【这里是节选的部分讲稿，全文可见链接内容】

数学中的微分的作用很奇妙。通常人们倾向于认为代数和拓扑是数学的两根支柱。但是事情并非那样简单；牛顿和莱布尼兹玩的是绝技。——陈省身

第1讲 微分和积分

1.1 微积分的起源: 牛顿与莱布尼兹

讲到微积分, 最要紧的两个人是牛顿(Issac Newton, 1642—1727) 跟莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716) , 微积分就是他们发现的. 关于牛顿, 有兴趣的是他做这个工作是在学生的时候, 也许比你们的岁数还要小, 那个时候, 也就是17 世纪那个时候, 欧洲瘟疫很厉害, 欧洲死了很多人. 他在英国剑桥大学, 因为瘟疫的关系, 学校放假了, 他就回家在家里做关于微积分的这些工作.莱布尼兹是一个各方面都非常优秀的人, 数学是他的兴趣的一部分, 他的兴趣到宗教、法律各方面都有. 他们两人之间有点争论, 是因为争论谁是微积分的发现者. 这个争论是不幸的, 也没有什么意义. 实质上是莱布尼兹头一个发表关于微积分论文的人, 他的论文在1684 年发表. 牛顿做这个工作早于莱布尼兹. 而莱布尼兹发表论文早于牛顿, 牛顿有了这个工作后没有发表什么任何的东西. 而莱布尼兹不但发表了这些东西, 同时还引用了一些符号, 也许我们现在还在用. 那么后来两个人有一个争论, 大概都是跟数学没有关系的人在那里造成的情况, 这不是一个什么有意思的事情.

1.2 微积分基本定理

微积分是数学里头很重要的方面, 至于什么是微积分呢?我想微分的发现跟笛卡儿发现坐标非常有关系, 因为笛卡儿发现坐标之后, 数学主要的目的就是研究函数, 研究两组数的关系, 有种种的关系. 我们知道, 函数有种种, 有线性的, 非线性的, 三角函数等种种函数, 那么要怎样地研究函数的性质? 我们都知道, 函数可以用曲线来表示, 如

这条曲线. 在这条曲线的每点, 如果它是可以微分的话, 那么它在每点有个切线. 微分就是把这个曲线用它的切线来研究它的性质. 所以也等于说它是把函数线性化, 线性化之后, 可以加、减、乘除, 可以计算, 因此可以得到数出来. 数学要是能够得到数出来, 总是很要紧的. 所以微分大概是说用曲线的切线来研究曲线的性质.

积分来得早了, 因为积分实际上大致讲起来, 它是要计算面积. 那么假使平面上有一个区域, 由曲线来做为边界, 它的面积有多大, 圆周的面积有多大, 这里的问题是积分的开始, 也是积分重要的目的. 因此, 实际上, 积分的发展在微分之前. 积分当时也没有一定的定义, 积分就是有个极限的观念. 曲线所围成的区域一般想法子用直线来逼近, 使得逼近的曲线趋于你的边界的时候, 就有个极限, 就是这个区域的面积. 所以, 总而言之, 积分的发展在微分之前, 中间这两个问题好象没有关系,但是其实这关系非常的密切. 积分差不多是微分的逆运算. 比方说, 假使你求这条直线跟两条垂线所成区域的面积, 这两条垂线, 一个是

, 一个是

, 你要去算这个区域的面积, 是个定积分

(读作

从

定积分). 这是当年莱布尼兹的符号, 这个积分的符号记成这样, 因为积分总是代表一个和,

~代表求和(sum). 假设面积一边由

的直线作边界, 另一边是任意的

,你把

这条直线移动话, 就得到

的一个函数, 这个函数, 我叫它

, 就是我图上的面积【图从略】 , 是个积分, 所以它是一个数目, 与

有关, 所以是

的函数. 这个函数跟曲线方程

这个函数有密切关系. 为什么有密切的关系呢?很简单地看看, 假如求

的微分, 求它的微分嘛, 就是说, 求

与

所围成的这个小区域的面积. 现在如果你拿

除的话, 我想很容易看出来了, 这个极限就是

. 所以很容易看出来

这个函数的微分就是

, 因此

这就是微分同积分的基本的关系. 这个关系说

是一个积分, 求它的微分时候, 就得

. 这个结果通常叫做微积分的基本定理. 我从前在南开念微积分的时候, 始终不懂为什么这是一个微积分的基本定理, 因为通常地把这个关系式写成

的形状. 右边的积分

是个不定积分(indefinite integral),不定积分是个函数（原函数）, 右式是这个函数在

点的值减去函数在

点的值, 等于左边

这个定积分(definite integral). 所以从这个关系知道要求积分的话, 只需要求一个函数, 它的微分是已知的, 就是

, 即微分是已知的. 所以这样微分跟积分连起来了. 互相的,积分等于微分的逆运算, 有了

, 要找一个函数, 它的微分等于

, 是个逆运算. 因此微、积分有密切的关系.

第2讲 指数函数与对数函数

2.1 本课的计划和目的

还有几分钟, 我想趁这个机会讲一讲我的计划和目的。我这个课的课时是8个小时, 但微积分大得不得了, 微积分的范围很广。不要说8个小时, 就是80个小时也讲不完。所以我当然只能讲个大概, 尤其是介绍整个的有一些意义的问题。至于详细的情形我没法去多讲。不详细的定义或者证明, 我想你们回去看一看自己的书, 大概在书里找得到。也有我讲的范围和内容是书中没有的。

我觉得应该提一提微积分整个的影响或者是在哪些方面向前发展。可以说, 微积分向前发展大概有两个最重要的方面。一个是在几何的应用。微积分在微分几何的应用, 最早是高斯。高斯也许不是最早的, 应该还有别的人, 如欧拉(Euler), 蒙日(Monge)等人。不过, 我想高斯是19 世纪世界最伟大的数学家, 数学在那时候, 全世界也就数西欧了。因为这个原因, 德国数学在19世纪是全世界最好的。那时, 不但有高斯, 还有高斯的影响及其学生。高斯最要紧的学生就是黎曼(Riemann)。因为有高斯和黎曼, 德国的数学就领先, 领先的意思就是大家跟着他的方向去发展。

在几何上应用的发展是很多的。当年爱因斯坦(Einstein)曾说过物理现象就是几何现象, 以此发展他的广义相对论。广义相对论然要用坐标, 爱因斯坦了解最初的坐标表示几何问题, 希望坐标

有几何的意义。当一个物理学家觉得应该有几何的或物理的意义时, 他做起来才比较合理。不过,爱因斯坦慢慢了解这个做不到, 因为空间呢, 来得比较复杂, 它允许任意坐标, 允许坐标的任意选择, 因此也允许坐标变换, 这就是我们现在所叫的流形。流形的概念是空间概念的推广。本来用的是欧几里得空间或者非欧空间等只有几个空间, 现在推广的流形就整个推广了。推广了以后, 整个的空间观念在物理上影响向前发展了。因此几何里头要描写物理现象就需要几何新的概念。除了流形之外, 还有纤维丛的观念。在下面的课中, 我想稍微跟大家讲一讲几何方面的发展。

微积分还有一个发展, 最要紧的是复数。很奇怪的, 普通的数目是实数, 但在实数域上,

就没有解。在复数域上, 我们不但使它有解, 并且复数有非常巧妙的性质, 有很多现象都被放在复数里头了。复数与实数一样, 有运算的规律, 你用这个规律之后, 复数代表了很多现象。我们以后会看到在复数里头的这些内容。所以, 数学要应用, 我们这个课是应用数学, 要学会应用。要应用的话, 会发现复数很要紧。因此, 复变函数论在19世纪的发展是数学里头最要紧的, 是一个比其它方面的发展来得更要紧一些的发展。最后, 我得留点时间讲讲在复数方面的应用。复数不只是使得对于任一个方程式有解, 并且利用复数, 很多数学问题来得简单。复变函数论比实变函数论简单多了。实变函数论有许多抽象的问题, 其实与实际不大有关系, 不过当时也需要罢了。

所以这是两个题目, 我要在这个课程里头把它们想办法讲一点, 使得大家能了解微积分在它们上的应用是最重要的两个方向。

2.2 关于微积分基本定理的补充

上次讲到了微积分的基本定理,

有时候也写成这种形状:

很惭愧地, 当年我在南开思源堂念微积分, 我自己就有一个问题, 为什么这就是基本定理, 始终不懂。很不幸地, 你们大概现在也还有这个习惯, 不敢问问题。我那时也不敢问问题,跟你们现在一样, 始终不懂。过了很多年, 才知道(3)的确是基本定理。这是因为(3) 说明了微分与积分的关系。

这个式子的两端, 一边是个定积分, 是一个面积, 右边是微分相反的运算, 所以右边的积分是一个不定积分。换句话, 是一个函数, 它的微分是

。也就是说, 它的左边是积分, 右边是微分。那么这个基本定理就说明了微分与积分的基本关系。大致上说, 微分是积分的一个逆运算, 就是要找一个函数, 使得它作为已知函数的微分。

2.3 指数函数和对数函数

我现在讲另外一个问题。上次有人讲, 对于跟这个课有些困难。我讲的这些题目不一定都有关系, 你如果对某一个题目有困难的话, 就听我讲一个别的题目, 所以不一定受多少影响。现在我换个题目。微积分既然是研究函数的性质, 用微积分来表示它的性质, 那么函数是多得不得了的。函数有种种的性质, 而有一些函数, 比较简单, 因此也比较重要, 并且许多应用上总碰到。

有两个特别重要的函数是指数函数与对数函数。这两个函数有什么性质呢? 这是非常重要的函数, 我们都晓得指数函数

的微分是它本身。而

的微分是等于

。因此

的积分是等于

, 这里假设

, 即

如果

, 普通人到这个时候就结束了。因为你知道这个公式是什么时候成立, 这个公式在

时不对, 这就够了。这是很自然的。不过, 如果这时候要停止的话, 你就没有用到函数积分的重要的定理, 因为

时, 这个积分才有意思! 所以, 假设

, 我就取对

的积分。因为我不取

, 所以我这个积分假定它从1积到

, 这个积分是要紧极了, 有意义极了。这个积分, 叫它

:

这就是对数函数。下面我讨论对数函数的最重要的性质。假使我把

乘常数

对

求微分。由于

的微分等于

, 于是

的微分也等于

, 所以这两个函数差一个常数

:

假使我将

代入(5) , 此时

, 这是因为,

是

从1到

的积分,

即从1 到1 积分, 当然是0。于是我就证到常数

就是

, 因此就得到

这个函数的基本性质:

函数用

的话等于

:

换句话说, 对数是使得乘法变为加法, 这是从前用对数表计算的一个基本性质。现在因为有计算机了, 大概不大用了。不过

这个函数非常要紧, 因为用到了我们这个基本的性质(7)。

那么由这个对数函数立刻就引进指数函数, 指数函数是对数函数的反函数。假使

的话, 就按定义,

, 即

因此它们互相是相反的函数,

是个指数函数, 其与

一起有加法与乘法关系的公式:

把乘法变为加法, 指数函数也就把加法变为乘法了。一个把乘法变为加法, 一个倒了过来, 它就把加法变为乘法, 这是一个简单的公式:

我这里有个证明:

360docimg_501_360docimg_502_360docimg_503_360docimg_504_360docimg_505_360docimg_506_360docimg_507_360docimg_508_360docimg_509_360docimg_510_360docimg_511_360docimg_512_360docimg_513_360docimg_514_360docimg_515_360docimg_516_360docimg_517_360docimg_518_360docimg_519_360docimg_520_360docimg_521_360docimg_522_360docimg_523_

这些都是很容易的计算。我现在要证明指数函数它的微分就是它自己, 即 360docimg_524_360docimg_525_ 对 360docimg_526_ 求微分就等于 360docimg_527_360docimg_528_.
这个证明为

360docimg_529_360docimg_530_360docimg_531_360docimg_532_360docimg_533_360docimg_534_360docimg_535_360docimg_536_360docimg_537_360docimg_538_360docimg_539_360docimg_540_360docimg_541_360docimg_542_360docimg_543_360docimg_544_360docimg_545_360docimg_546_360docimg_547_360docimg_548_360docimg_549_360docimg_550_360docimg_551_360docimg_552_360docimg_553_360docimg_554_360docimg_555_360docimg_556_360docimg_557_

这里把指数函数写成 360docimg_558_360docimg_559_360docimg_560_360docimg_561_, 当然也可写成 360docimg_562_360docimg_563_. 这时假定所有的数都是正的,所以没有什么 360docimg_564_360docimg_565_ 存在与否的问题。于是, 指数函数的微分就是它自己, 上面就给出了一个证明。大家也许记得, 两个函数的图是这个样子, 一个是 360docimg_566_360docimg_567_360docimg_568_在 360docimg_569_360docimg_570_360docimg_571_ 的附近越来越小起来, 趋于负无穷。对数函数也是一个增长的函数, 不过它增长得非常慢。指数函数就增长得很快, 它永远是正的。这是我画的两个简单的图(略), 我想你们在任何微积分的书上都看到过这两个函数的图。

指数函数与对数函数是统一的函数, 一个是另外一个的反函数, 这个性质是非常要紧的, 有奇妙的性质。第一, 指数函数的微分是它自己, 因此, 它有一个很简单的无穷级数, 这个无穷极数是用泰勒(Taylor)公式展开的。我把泰勒公式写一下:

360docimg_572_360docimg_573_360docimg_574_360docimg_575_360docimg_576_360docimg_577_360docimg_578_360docimg_579_360docimg_580_360docimg_581_360docimg_582_360docimg_583_360docimg_584_360docimg_585_360docimg_586_360docimg_587_360docimg_588_360docimg_589_360docimg_590_360docimg_591_360docimg_592_360docimg_593_360docimg_594_360docimg_595_360docimg_596_360docimg_597_360docimg_598_360docimg_599_360docimg_600_360docimg_601_360docimg_602_360docimg_603_360docimg_604_360docimg_605_360docimg_606_360docimg_607_360docimg_608_360docimg_609_360docimg_610_360docimg_611_360docimg_612_360docimg_613_360docimg_614_360docimg_615_360docimg_616_360docimg_617_360docimg_618_360docimg_619_360docimg_620_360docimg_621_360docimg_622_360docimg_623_360docimg_624_360docimg_625_360docimg_626_360docimg_627_360docimg_628_360docimg_629_360docimg_630_360docimg_631_360docimg_632_360docimg_633_360docimg_634_360docimg_635_360docimg_636_360docimg_637_360docimg_638_360docimg_639_360docimg_640_360docimg_641_360docimg_642_

其中余项

360docimg_643_360docimg_644_360docimg_645_360docimg_646_360docimg_647_360docimg_648_360docimg_649_360docimg_650_360docimg_651_360docimg_652_360docimg_653_360docimg_654_360docimg_655_360docimg_656_360docimg_657_360docimg_658_360docimg_659_360docimg_660_360docimg_661_360docimg_662_360docimg_663_360docimg_664_360docimg_665_360docimg_666_360docimg_667_360docimg_668_360docimg_669_360docimg_670_360docimg_671_360docimg_672_360docimg_673_360docimg_674_360docimg_675_360docimg_676_

（注意到我们常见的余项是用拉格朗日(Lagrange)余项，这里陈先生给出的是积分余项，由此也可以看出陈先生对于积分的偏爱。）我想这些你们都念过了。这个泰勒公式把任意的函数展成一个无穷级数, 360docimg_677_ 是一点, 360docimg_678_ 是另外一点, 那么它可以展成 360docimg_679_360docimg_680_360docimg_681_360docimg_682_360docimg_683_ 的一个多项式, 后面有一个余项, 这个余项是由积分(11) 给出。泰勒公式在 360docimg_684_360docimg_685_360docimg_686_ 的时候就是微积分的基本定理（即牛顿-莱布尼兹公式）. 泰勒公式就是微积分基本定理的高次的一个推广。由泰勒公式, 现在我们这个指数函数简单得不得了, 因为微分下去都是它自己, 所以有一个无穷级数, 很简单, 我写为

360docimg_687_360docimg_688_360docimg_689_360docimg_690_360docimg_691_360docimg_692_360docimg_693_360docimg_694_360docimg_695_360docimg_696_360docimg_697_360docimg_698_360docimg_699_360docimg_700_360docimg_701_360docimg_702_360docimg_703_360docimg_704_360docimg_705_360docimg_706_360docimg_707_360docimg_708_360docimg_709_360docimg_710_360docimg_711_360docimg_712_360docimg_713_

所以这个指数函数有一个很简单的展开, 它有一个重要的性质, 你这个数目当然是正数, 至少是实数, 我想有的时候你用一下复数的话, 有很巧妙的性质!

同样的, 我们知道 360docimg_714_360docimg_715_360docimg_716_360docimg_717_ 与 360docimg_718_360docimg_719_360docimg_720_360docimg_721_ 有另外这两个展开:

360docimg_722_360docimg_723_360docimg_724_360docimg_725_360docimg_726_360docimg_727_360docimg_728_360docimg_729_360docimg_730_360docimg_731_360docimg_732_360docimg_733_360docimg_734_360docimg_735_360docimg_736_360docimg_737_360docimg_738_360docimg_739_360docimg_740_360docimg_741_360docimg_742_360docimg_743_360docimg_744_360docimg_745_360docimg_746_

360docimg_747_360docimg_748_360docimg_749_360docimg_750_360docimg_751_360docimg_752_360docimg_753_360docimg_754_360docimg_755_360docimg_756_360docimg_757_360docimg_758_360docimg_759_360docimg_760_360docimg_761_360docimg_762_360docimg_763_360docimg_764_360docimg_765_360docimg_766_360docimg_767_360docimg_768_360docimg_769_360docimg_770_

你会发现, 假使将 360docimg_771_360docimg_772_ 展开中的 360docimg_773_ 改为 360docimg_774_360docimg_775_, 其中 360docimg_776_360docimg_777_360docimg_778_360docimg_779_360docimg_780_。那么 360docimg_781_360docimg_782_360docimg_783_ 就有个式子:

360docimg_784_360docimg_785_360docimg_786_360docimg_787_360docimg_788_360docimg_789_360docimg_790_360docimg_791_360docimg_792_360docimg_793_360docimg_794_360docimg_795_360docimg_796_360docimg_797_360docimg_798_360docimg_799_360docimg_800_360docimg_801_360docimg_802_

我想很容易由(12) - (14) 看出来有这样的公式。允许变数取复数的值, 那么假使你用这个公式的话, 取 360docimg_803_360docimg_804_360docimg_805_, 于是

360docimg_806_360docimg_807_360docimg_808_360docimg_809_360docimg_810_360docimg_811_360docimg_812_360docimg_813_360docimg_814_360docimg_815_

你们都知道这个公式。不过这是个很有意思的式子。因为这里头有几个常数。大家注意的一个是 360docimg_816_, 另外一个就是 360docimg_817_。360docimg_818_ 是因为欧拉(Euler)。欧拉在18世纪的那个时候, 跟现在不太一样, 那时世界就是西欧。世界有科学的发展, 就是在西欧。大家承认有一个最伟大的数学家, 欧拉是那时被承认的最伟大的数学家。所以有人做了国王之后, 在他的朝廷里愿意有个伟大的数学家, 于是欧拉就被请到圣彼得堡。他就写了很多书。这个欧拉是很有意思的, 大概写的文章是没有人超过的。他写了几百本。他有好多小孩, 所以他是抱着小孩子, 孩子坐在他腿上, 做他的数学。我跟他曾经发生一个关系, 就是我们这个南开图书馆要不要他的全集。他的全集要几千块美金, 几百本, 很抱歉的, 后来我决定不买了, 太贵了并且恐怕没有人看了, 文章都是拉丁文的, 结果我们图书馆没有欧拉的全集, 我们有很多其他人的全集, 不过现在看来问题是有些文字的问题。比方说, 你们如果有功夫的话, 可以看看高斯的全集。高斯刚才我说是19世纪最伟大的数学家, 大家都知道他的数学能力。所以说呢, 如果人家过节请他, 带着他一起去过节, 那么过节时就问他小的几何问题, 高斯当然就能解。那么高斯的小的几何问题的解在他的论文集里, 这是很有意思的。这些问题完全是初等几何的, 有的就一页。做做他的小的几何定理, 他的小定理都很有意思, 我们可以偷他的来写一篇文章。很不幸的是，他的文章不是拉丁文, 就是德文。

欧拉写了很多东西。这个公式(16)是其中之一, 它把几个主要的数连起来。360docimg_819_360docimg_820_360docimg_821_360docimg_822_360docimg_823_ 有这样的关系: 360docimg_824_360docimg_825_360docimg_826_360docimg_827_360docimg_828_360docimg_829_。这是非常有意思的。我再告诉你们另外一个公式, 不知你们有无兴趣。这个 Taylor 展开, 同样可以用到反正切函数 360docimg_830_360docimg_831_360docimg_832_360docimg_833_360docimg_834_360docimg_835_360docimg_836_。360docimg_837_360docimg_838_360docimg_839_360docimg_840_360docimg_841_360docimg_842_360docimg_843_ 的微分是 360docimg_844_360docimg_845_360docimg_846_360docimg_847_360docimg_848_ , 所以 360docimg_849_360docimg_850_360docimg_851_360docimg_852_360docimg_853_360docimg_854_360docimg_855_ 这个函数有一个性质, 就是你求它的微分的话, 式子会比较简单。因此由这些就得 360docimg_856_ 的一个式子, 即 360docimg_857_ 可以写成一个无穷级数

360docimg_858_360docimg_859_360docimg_860_360docimg_861_360docimg_862_360docimg_863_360docimg_864_360docimg_865_360docimg_866_360docimg_867_360docimg_868_360docimg_869_360docimg_870_360docimg_871_360docimg_872_360docimg_873_360docimg_874_360docimg_875_360docimg_876_360docimg_877_360docimg_878_360docimg_879_

这是一个漂亮极了的一个公式。它把一个1, 3, 5, 7, 9 这么连在一起, 加在一起是 360docimg_880_360docimg_881_! 所以, 这是漂亮极了的一个公式! 近代的一个有名的数论家塞尔伯格(Atle Selberg), 他是挪威的数学家, 有一次他写一个文章(注：Reflections Around the Ramanujan Centenary，有中译文 Ramanujan 百周年诞辰之际的反思，《数学译林》）, 讲他对数论发生兴趣就因为他看到这个公式。他恐怕现在是岁数大了一点, 我想他总有80多岁, 人还在。[注：Selberg 在2007年去世。]

第3讲 曲线论

第4,5,6讲 曲面论