数学公式是个很奇妙的东西，从最简单的1 1=2，到拉开航天航空序幕的齐奥尔科夫斯基公式，它们虽然只有几个符号，却能够描述大千世界。为什么1 1=2 也算一个伟大的发现？为什么万有引力定律是人类思想的一个转折点？为什么等号分隔的两组数字或符号就能够改变世界？你都能在本书中找到答案。
本书将用有趣的手绘方式，把人类历史上最具有影响力的10 个数学公式介绍给读者。我们将从每个数学公式出现的历史说起，用简单易懂的语言带着每一个阅读本书的读者一起，跟着人类发展留下的脚印，探寻公式背后的哲思。
如何才能得到这本《不可不知的数学知识》呢？参与的方式非常简单！只要你认真阅读下面的这篇文章，思考文末提出的问题，严格按照 互动：你的答案 的格式在评论区留言，就有机会获得奖品！（PS：格式不符合要求者无效）截止到本周四中午12点，精选留言点赞数前三名的朋友将获得一本《不可不知的数学知识》。
【互动问答示例】
互动：这里就可以自由发挥你的答案啦~
作者：Rachel Thomas
翻译：Nothing
审校：山寺小沙弥
Trina Merry作品
人类的眼睛非常不可思议。你、我以及大部分没有视力问题的人可以看到我们永远也不可能到达的地方。太阳距离地球149000000千米，在晴朗的夏天可以被清楚地看到。晚上，当我看着星空，我可以看到数光年远的地方。“你想看多远就可以看多远，”剑桥大学理论物理教授Ben Allanach说。“如果你看着数光年外的一颗星星，只要它足够亮你就可以看到它。”
观星
相距不同距离的两个艾里斑
我们在看东西时，分辨能力是有限制的。其中之一就是角分辨率。你的眼睛看到是物体反射（或者产生）的光线。这些光线通过你的瞳孔并且被你眼睛中的晶状体聚焦在视网膜上。瞳孔的大小（类似于照相机的光圈）决定了你可以分辨开的两个物体的距离，这取决于两个物体反射的光线之间的角度。
双缝干涉实验示意动图
光由波构成，它在通过障碍物时会向四周扩散或者说会衍射，这就像水流在通过窄桥之后会扩散一样。这种性质会导致光波之间相互干渉并且形成衍射图样，这已经被著名的双缝干涉实验所证实。光线扩散的特性会形成艾里斑-它限制了光线通过圆形洞之后可以汇集的程度。两个不同的光源只有在它们的艾里斑相互不重合时才能被区分开。这个限制，角分辨率，被角度
θ≈1.22λ/d
人眼的角分辨率大约是1弧分（0.02度或者0.0003弧度），它允许我分辨出1公里外相距30厘米以上的物体。“你看到的一颗星星可能是分开的角度很小的两颗行星，”Allanach说。“你不能分辨它们，因为它们看起来就是一颗星
星。”
爱里斑计算示意图
彩虹之外
另一个限制我们的视力的因素是光的频率。光由传播速度为300000000m/s的电磁波组成。这些电磁波可以包含不同的频率和波长。其实我们看到的颜色就是由这些频率和波长决定的-红色光的波长是620-750纳米，相应的频率是400-484太赫兹；紫色光波长为280-450nm，响应的频率是668-789太赫兹。
从紫光（左）到红光（右）的可见光光谱。
我们可以看到的颜色包含彩虹所包含的颜色，但在我们周围充斥的光中既包含可见光又包含不可见光。和我们的眼睛构造不同的眼睛可以看到紫外线或者红外线。“人类看不到紫外线，但是昆虫看得到，”Allanach说。例如，蜜蜂的复眼不仅包含数千个镜头，它们的眼睛中还包含紫外线的感受器。
一个有趣的关于颜色测量的说明来自Norwegian Neil Harbisson。Harbisson是完全的色盲，这是指发生在人身上的罕见情形。“他看到的世界是黑白色的，”Allanach说。但是Harbisson，他承认自己是半个机械人，已经将自己强化成可以感受颜色的状态。他将一台照相机装在头上并将捕获到的颜色转换成声音。
“声音通过他的骨头传导进入他的耳朵，”Allanach说。“他可以听到颜色。当电话响起来，它听起来是紫色的。 Harbisson关于颜色的体验将视觉听觉转换了，这叫做共感觉。”现在他加强了自己的装置，现在他能看到红外线。显然，当你在他附近使用一个老式遥控器时，他可以听到它。
超越人类感官
Neil Harbisson. Image: Dan Wilton/The Red Bulletin , CC BY 2.0 .
这听起来也许很极端，但是我们已经为了增强自己的身体和感官努力了很长时间。从助听器到眼镜和隐形眼镜再到耳蜗植入设备的改进-人类一直在寻找克服自己身体极限的办法。在科学中，我们从十七世纪开始就一直致力于提高自身的测量能力。古希腊人利用放大镜，十七世纪出现的显微镜使得我们可以观察生物的微观结构。伽利略制造了最早的望远镜之一并且在1610年发现了木星周围的卫星。更大的镜头的使用使得角分辨率提高，这使得天文学家可以看到更小的物体而且可以分开离的很近的星星。
木星和四颗伽利略卫星（合成照）
望远镜和放大镜都利用镜头来放大物体的像。“但是当你深入到某个层次，比如分子水平，没有哪种光学显微镜可以帮助你观察它。”Allanach说。所以你需要其他的设备比如电子显微镜和扫描探针显微镜。
数学和技术使得我们可以看到更多，甚至在我们身体深处。核磁共振通过将磁场施加到水分子的振动上去，然后探测磁场的响应。接下来利用电脑程序中的数学技术重建图像，这使得我们可以看到人体内的水分子。相比仅仅是利用眼睛和显微镜加强我们的感官。“这些并不能被我们日常的感官看到。”Allanach说。
核磁共振下的脑部图像
但是这和我们日常看到的有不一样的地方吗？“当我们看的时候，没有什么东西可以越过视力过程进入我们的大脑。”Allanach说。“当你感受到它之前，在你的CPU也就是你大脑中的电脑处理它之前，已经有其他过程接收到了它的信息。所以，通过你建造的机器观察到的东西和你直接观察到的东西并没有什么不同。”
原文链接：
https://plus.maths.org/content/what-can-we-see
【互动问题：你怎么判断自己看到的不是幻象，而是真实？】
请大家严格按照 互动：问题答案 的格式在评论区留言参与互动，格式不符合要求者无效。
截止到本周四中午12点，精选留言点赞数前三名的朋友将获得我们送出的图书一本。
编辑：山寺小沙弥
联系客服
