一、关于估算教学的思考
在估算教学中，我们分成三个层面进行讨论。首先是对估算价值的认识，即估算在人们的日常生活中，在孩子们的学习中有怎样的作用。其次，在课堂教学这个层面当中，如何培养学生的这种估算的意识，帮助学生选择合适的估算策略，掌握估算的方法，提高估算技能。最后是如何对学生的估算结果进行客观公正的评价，即估算的评价标准。
1.估算的价值
（1）估算在日常生活中有着广泛的应用
随着现在科技的飞速发展，很多事实际上不可能也不需要都来进行准确计算。通过对家长的访谈，我们看到从事各种职业的人士，都认同估算的价值。曾经有一个学者做过一个统计，一个人在日常生活当中精确计算，和粗略估计算的机会来比，后者多得多。例如，我们每个家庭要计划自己家庭的收入和支出，这就需要估计；一个商场，它的营业额是多少，它的利润如何，这要进行大致的预测，这也是估计；企业对经营的产品或者销售额也要进行估计；又如现在北京市公交车辆特别多，那么公交部门的运输能力到底是多少，不一定很精确计算，也需要大致做估计；再比如，现在大城市流动人口很多，到底流动人口是多少，我们在做统计时也要做一些估计，一般来讲尾数就省略不计了。综上所述，我们可以得出生活离不开估算。因此，估算作为数学计算教学方面的一个新内容，或者说一个重要的方面提出来，是有道理的。
（2）估算为判断计算器、口算和笔算结果是否合理提供了依据
估算为判断计算器计算得是否准确，包括孩子们口算、笔算的结果是否合理，提供了重要的依据。小学生开始使用计算器，计算器按出来一般的结果都是准确的，但有时候由于操作失误可能会出现问题，如果学生有了估算的意识和能力，就能很快发现计算器计算结果的取值范围是否合理，可以马上改过来。
过去我们要用加减法的互逆关系和乘除法的互逆关系来验算，现在就可以用估算的方法来检验结果。这也是估算的重要应用。
（3）估算有利于人们事先来把握运算结果的范围，是发展学生数感的一个重要的途径
估算是发展学生数感的有效途径之一，也是保证计算正确的重要环节，尤其对提高学生的计算能力很有益处，计算前进行估算，可以估计出大致结果，为计算的准确性创设条件；计算后进行估算，能判断计算有无错误并找出错误的原因，及时纠正。在学生的日常口算和笔算过程中，无论是计算前估算或者是计算后估算，都有一定的价值，比如说拿到一道题，还没算之前，先估算一下，大概它的范围是多少，这有利于学生进行合理的判断。另外从思维角度来讲，对培养孩子快速的判断和推理能力，也有一定的好处。
（4）估算对学生后续的数学学习有重要作用
估算在学生后续的数学学习中占有一个非常重要的位置，并且是数学的一个基本思想，通常我们叫近似或者逼近。比如在初中，我们都学了一个数的平方等于2，那么这个数就是叫做，那么是一个实数，但是我们在日常生活中，总不能说一个人的身高是，那么通常我们总说它是1.4～1.41，这样别人可以了解你的这个具体的身高，所以说在数学的应用中，包括在数学的计算中，常常会需要用近似，用估计来解决问题，并且它这个估计的结果符合我们实际的要求。 确实在我们数学的发展过程当中，估算也占有重要的地位，对学生的数学学习有重要的帮助，特别是发展学生近似的意识，估算的这种意识的培养，也是非常重要的。
总之，作为数学教师，我们只有更加深刻地去感受，去领悟估算在我们生活工作中的价值，我们才能自觉地在我们的教学当中，很好地去培养学生的这种估算的意识，估算的能力，很好地去发展学生在这方面的一些创造能力。
附：家长访谈
新药研发工作者：我觉得估算价值挺大的，因为我是做新药研发的，一个新药大概要投资下十亿到十五亿美元这样一个范围，风险很大，所以一定要有一个大概的估计，而且中国人是那种直觉性思维方式非常好的，估计性的能力相对来说可能是比较强的，我觉得或多或少的会用到估算，就是你在确定方向的时候，觉得很有用。
幼儿园工作者：我觉得应该有吧，比如吃饭，我经常会遇到这种情况，因为有时候开的发票不是很准确，你又希望这个价格很准确，但是大脑运作得又太慢，加菜单的时候太慢，所以我觉得这个应该挺有价值的，就是从生活角度。有时候你不可能当着朋友面算算算半天，搁那儿抠抠半天，但是也确实那个餐厅也有过这种情况，他可能给你写一个价格，但是他最后的结果他比你要高出，有这种情况，所以为了避免这种损失，应该有一个大概的一个估算，不会差得太大。
商人：我的职业是做出口生意，最基本的还是每天的零售，零售这个流水多少钱，那么估算在我这儿应该是每天、每月、每年都应该用的，因为有的时候，你计算的没有那么多时间，或者今天把今天的这个三次结完账，或者两个店的营业额流水有多少，估算一下，这个应该在生活当中是用的非常多的。
2.估算教学的策略
目前“估算”从学生角度来讲的主要问题有两个：一是学生不知道什么选择用估算，往往学生一看见有“大约”，就开始估了。二是学生不知道在什么情况下选择用什么样的估算策略，也就是估算策略怎么能够合理地进行应用。为此，给大家提供一些估算教学的策略，希望能有所启发。
（1）培养估算意识
估算教学，不是单纯地教给学生记住一种估算的方法，应当是通过估算的教学，来培养学生这种近似的意识，这种估算的意识，他不是被动地、机械地去记住一种估算方法，而是通过课堂教学，让学生逐步地去理解估算的意义，去发展学生的估算意识，在这个过程中，应当多增加一些学生的体验，不断地丰富学生这方面的经验，积累他的经验。下面提几条具体的教学建议。
①教师要重视估算，并把估算意识的培养作为重要的教学目标
在教学设计时，首先要考虑教学目标，如果把目标定位在做一些机械的训练，可能就会给学生形成一种错误的定势。而我们要培养学生估算的意识、近似的意识，这是我们数学教学本身发展应该关注的问题，也应该作为我们重要的教学目标来实施。
②要选好题目，提出好问题，让学生去体会估算的必要性
作为教师，在教学设计中，首先要选好题目，提出好问题，提出有估计价值的问题，这对老师是个挑战。比如，三位数除以两位数，你估一估这道题，它的商是几位数？这个问题就有价值。另外，只有选好题目、提出好问题学生才能自觉体会到估算的价值，学生具备了对估算价值的体验后，他的估算意识才能不断增强。提到选择好的题目，一位老师碰到了这么一件事，一家三口去吃饭，当时点了一些饭菜，价钱分别是42元、56元，19元、33元、25元，9元，当时就大致地估了估，大约不够200元。服务员收费时却报出了226元。这显然是错误的。经查证服务员将42记了两次，正好多收了42元。由于有了估算的意识才避免了服务员的错收费。这就是估算的应用啊！
在我们的生活当中需要估算的地方确实很多，那么能够设计一个这样体现估算价值的情境，让学生在解决问题中，去体会估算的必要性。久而久之，学生估算的意识就会不断加强。
③要鼓励学生，利用估算来验证计算结果，来养成好的习惯
比如现在学生用计算器计算，再比如学生的精确笔算，那么结果对不对呢，特别是积的位数、商的位数，准确不准确呢，可以先用估算的方法，来确定一下它大致的取值范围，这样就帮助学生来验证计算的结果。估算意识的培养，应该从点点滴滴做起，使学生逐步地养成一种习惯，形成这种良好的习惯以后，他会自觉地进行估算。
有这样一个例子，8241÷41，学生算的结果商是21，他马上发现8000多除以40多，商不可能是两位数，肯定是算错了，他就去进一步检查哪里发生错误。可以看出正因为他有一个好的估算习惯，才能够及时纠正自己的错误。还有一个例子，231加上416，有位学生得500，当时同桌给他看的时候，说你这肯定不对，一个200多加一个400多，肯定得600多，怎么它也不能得500多。可见，让孩子感觉到估算的必要性，并养成好的估算习惯，是很有必要的。学生通过不断地体会估算给他带来的帮助和好处，从而不断地提升他们估算的意识。
④要引导学生在问题情境的对比中，选择估算或精确计算，不断地积累这方面的经验
作为数学教师，我们要想办法搜集或者捕捉一些好的素材，在具体的问题情境当中让学生去感受，哪些问题解决需要近似值，就是需要估算，哪些问题解决一定要算出精确值，比如像刚才我说的那个题，“全家吃饭”的例子就是估算，大约是200元，这就是估算。当然没有必要精确地计算了，在这种情况下，我们就选择用估算，而不选择用精确计算。但作为饭店的收银员就需要精确计算，估算显然不行。
估算教学，是一个新的内容，我们没有积累更多的经验。虽然生活中的例子不少，甚至估算比精算用的还多，可是真正好的例子，能够搬到课堂上来用的，并不很多。特别是适合儿童的、贴近儿童的现实生活的例子就显得有些不足。为学生创设好情境，提出好问题需要我们不断地去积累鲜活的例子，这正是给老师们提出了一个新的挑战。
2．形成估算策略
首先，我们结合北京市石景山区古二小王静燕老师的课例来谈学生估算策略培养。
【案例1】估算教学片段
片段一：创设情境，感受估算价值。
1）老师在海报上看中了几样商品，准备去超市购买，请同学们帮我想一想：带100元钱够不够？
保温杯：9.80元
巧克力：23.60元
牛奶：16.60元
清洁剂：9.70元
面粉：14.00元
饼干：25.20元
2）学生用凑整的方法进行估算。（学生回答略）
3）收银员怎样来计算这些商品的总价钱的？
学生回答：输机。
教师追问：能不能像前边同学那样对于某件商品只取一个与它近似的整数进行输机呢？（不能）现在我们就来进行一下收银员的工作，精确地这些商品到底价值多少钱？
9.80+23.60+16.60+9.70+14.00+25.20=98. 90（元）
4）请大家思考：顾客和收银员同是计算这些商品的总价钱，那么在具体做法上有什么不同？
5）生活中有很多问题都是用估算的方法来解决的，回想一下我们的生活，在哪些时候用到过估算。
6）小组讨论之后反馈。
片段二：展现不同的估算方法。
1）看来大家对于估算有一定的经验，下面我们就来试一试：
这是我们古城二小五年级六个班的人数统计：
| 班级 | 一班 | 二班 | 三班 | 四班 | 五班 | 六班 |
| 人数 | 33人 | 37人 | 35人 | 38人 | 36人 | 32人 |
你能估算出五年级大约一共有多少名学生吗？
2）反馈
生1：把这六个数都看成30，30×6=180（人），我估算的结果大约是180人。
生2：把这六个数都看成40，40×6=240（人）。
生3：我把37、35、38和36看成40，把33和32看成30，40×4＋30×2=220人。
生4：这六个数都在35上下，如果把这六个数平均一下大约就在35，所以可以把35看作中间数，35×6=210（人）
3）教师评价：同学们的估算方法都有一定的道理。老师在同学们估算的同时悄悄的算出了精确结果，你们想不想看一看？
4）公布年级实际的总人数：211人，看到这个结果你们有什么新的想法？
5）学生开始结合精确结果和自己的估算结果进行比较
生1：我都看成30，所以就估少了，用中间数的方法最接近。
生2：都看成40，就估高了，要比240少。
生3：都看成30，每个数都少了，所以就比实际结果少；都看成40，每个数都多了，所以就比实际结果多，所以结果在这两个数之间。
这个课例中，王老师给孩子出示的问题情境很巧妙，使学生产生了估算需要。更为可贵的是，教师能在课堂教学过程当中，追问学生：生活当中还哪儿用到估算，这个就是对学生这种估算意识的一种培养，久而久之学生这种估算意识就会慢慢地形成了。
这节课的后半段也是非常精彩，学生用了那么多种不同的策略来进行估算，可谓是精彩纷呈。特别是老师又抛出了一个精确值，让孩子用自己估算的结果和这个精确值去比较，然后又把这个问题再放下去，让孩子又有了二次的交流和反思。
下面就估算策略问题，提出一些建议。
⑴鼓励学生解释估算的思路和理由
鼓励每个学生尽可能地能够表述自己的思路和理由，适当地鼓励学生总结估算的策略，因为这确实是一个经验的积累过程，要善于总结，灵活地使用，凡是合理的估算策略，我们应当给予肯定。经验积累是重要的，有时候不是老师讲会的，需要学生自己不断地反思和调整原有的认识。
⑵教师要积极地引导学生在对估算和精确计算结果的比较当中，让学生学会倾听、反思，加强体验，积累经验，不断地提高估算的能力
以上面估算这节课为例，一般老师看到了学生用多样的方法、策略，来进行估算，往往就满足了，一般情况下在这儿就要收尾了。多样化也体现出来了，策略的变化也体现出来了。而王老师此时却提了一个很有价值的问题：“在你们估算时，老师已经悄悄地把准确的结果计算出来了。看到这个准确结果，你们有什么想法？”这样又一次引起了同学们热烈地讨论，当学生把自己的估算结果和精确值进行比较的时候，同时也和其他同学的估算结果进行比较的时候，就发现了精确结果的大致范围。学生进行二次反思，对不断提高判断能力、选择能力和估算能力，是有重要的帮助。
⑶教师可以适当第总结具体的估算的策略
估算策略主要有：
① 凑整的方法。如凑成一个整十整百的数。
② 取一个中间数。比如32 37 30 39这四个数求和，这些数都很接近35，有的比35多一点，有的比35少一点，就取一个中间数35，直接用35×4，就大约地计算出这几个数相加的结果。
③ 利用特殊的数据特点进行估数。如126×8，就可以想到125×8，125的8倍，就得到1000。
④ 寻找区间。也就是说叫寻找它的范围，也叫做去尾进一，“去尾”就是只看首位，那么只看首位的时候，估得的结果就是它至少是多少，“进一”就是首位加一，假如说278，我们就看成了300，首位加一，这样就是它最多可能是多少，这样得到一个范围，就是寻找它的区间范围。
⑤ 两个数，一个数往大了估，一个数往小了估，或者一个数估一个数不估。
⑥ 先估后调。
学生根据不同的情况，采取不同估计的策略，这是对学生估算能力的一种很好地培养过程。在这里我们只是提了六种具体的策略，其实还有很多，一线的老师们有很多丰富的经验，希望你们不断地完善估算策略，并且在适当时候帮助学生进行总结。
三、估算的评价
关于估算评价，可以把估算分为两种情况：一种是根据实际问题来估算，一种是脱离实际问题的情境——纯算式的估算。
1．根据实际问题的需要，选择合理的估算策略
学生只要能够解决实际问题，那这个估算就应该是合理的，这是针对着解决实际问题来说的。只要你估算的结果，和实际要求解决问题的结果是一致的，就应当算正确。
2．纯试题的估算，只要结果落在合理的区间内，就可以认为是正确的
有一些题目，脱离了实际问题情境，属于纯算式的估算，在这种情况下，不能简单地把估算结果是否与精确值最接近作为唯一的标准，只要能够落在区间内，就视为是合理的。
同时不同年龄的学生，要有不同的评价标准。如低年级学生刚刚接触估算，它的估算结果落在区间内，但是范围比较大，我们觉得也可以。高年级的学生已经有了一定的估算经验，就要引导他不断地进行再反思，再调整，把估算的结果能落在更趋于合理的位置上。举个例子来说：78×365积大约是多少，刚开始学习的时候，学生可能这样估70×300，或者80×300，或者80×400，这样我们都可以视为是合理的。有了一定的计算技能以后，老师要引导学生不断地进行反思，还可以估成80×350。
3．注重对估算结果数量级中的把握
数量级也就是十、百、千，万……，换句话说就可以用10的n次方表示。如TIMSS测试题很有意思，史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大约是多少升？”让学生从下面选项中选择答案。
A.30000 B.240000 C.300000 D.2400000 E.3000000
这考查了学生对数量级的把握。
关于评价问题，我们认为学生们估算的策略不同，只要是合理的，就应当鼓励他们大胆地尝试，鼓励他们积极解释自己的观点，交流自己的看法。在这个过程当中，肯定会有很多有价值的东西会在课堂中涌现出来，老师要小心翼翼地去呵护住学生们的这份探究精神，不要轻易地用一两句话就否定一种方法。教师不要急于给予评判，给孩子一种宽松的氛围，让孩子不断地学会调整，不断地学会反思，提升孩子这种判断的能力。教师要不断地站在学生的角度去思考、去挖掘这些方法的思维价值。不断地培养孩子的估算意识，利用这种近似的意识来发展孩子的数学思维。
另外，从命题的角度，能不能让题目更适合学生用估算的方法来解答。希望老师们能够尝试着出一些好题目，提出一些好问题，有利于学生估算意识的培养，有利于学生估算策略的选择，不断地提升学生的估算的能力。比如说在估算的题目当中，鼓励学生进行二次的调整、选择，这些策略都可以在和学生的交流和尝试中不断地让学生去积累经验。关于如何去评价估算的结果问题，需要我们不断探索和研究的问题。
二、科学培养学生的运算技能
1．算理和具体计算方法的关系
一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，学生只要把法则牢记于心，反复“演练”就可以达到正确、熟练的要求。我们不能想像一个连基本的计算原理和方法都模糊不清的学生能够灵活、简便地进行计算，会具有较强的计算能力；
一些教师认为，算理非常重要，在计算过程中让学生会说一整套的程序化的语言，以表明学生对算理的理解，这种任意拔苗助长的做法也是不可取的。因为这样做不符合孩子的认知规律，也不可能让小学生一下子说那么多？说那么多，他就是真的理解吗？
学生在小学阶段学过的定律有加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律五个运算定律。实际上从小学阶段到中学，一直到实数范围它是通行无阻的。从理论上讲只有运用了运算定律，才能保证某些计算结果的严密性。以前我们只把运算定律用到简算上，其实运算律不仅仅在此，更重要的是它能够保证整个计算的正确性，取得唯一的结果。
⑴ 整数加法的算理
324+324=648，它的算理是什么呢？
324+324
=（300+20+4）+（300+20+4）
=（300+300）+（20+20）+（4+4）
=600+40+8
=648
在这里既运用了交换律、结合律，还利用了整数十进制计数法，最后算出来和是648。运用运算定律能够保证计算结果的唯一性，这就是算理。而运算法则是人们进行计算的一个基本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。运算法则，来自于算理；学生在做计算的时候是基于运算法则的，法则通常又要满足运算律，这就是我们平时讲课时应做到明确算理，掌握法则。
当学生没有学习交换律和结合律时，怎样能够保证计算结果正确呢？老师根据学生的实际，用操作和教具演示等方法。如学生在做加法时，大块和大块的放在一起，小块和小块的放在一起，单根和单根放一起，很直观，实际上就是把算理具体化和形象化的过程。
⑵小数乘法的算理
“0.3× 0.2”的算理是什么？有一部分老师认为就是把0.3和 0.2同时扩大10倍，积是6，然后再把6缩小100倍，最后结果是0.06。误把这样一个计算的过程当作了算理。
我们是这样理解0.3× 0.2算理的：
0.3× 0.2
=（3 × 0.1）×（2 × 0.1）
=（3 × 2）×（ 0.1 × 0.1）
= 6× 0.01
= 0.06
计算中根据小数的意义，并利用乘法的交换律与结合律，保证了计算结果的正确性。
算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；具体的计算方法（主要指计算法则）是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。所以，算理为法则提供理论依据，法则又使算理具体化。
现在计算教学淡化了程式化地叙述算理和计算法则，重在让学生经历计算方法的获得过程，重在展示计算方法的形成过程，重在暴露学生的思维过程，让学生真正理解算理，掌握具体的计算方法，形成计算技能。在教学中，既要使学生知道怎么算，又要知道为什么这样算。学生明确了算理和具体的方法，才能灵活、简便地进行计算，才可能产生多样的算法。
⑶关于0.3× 0.2这个案例的讨论
具体到0.3×0.2，孩子们做了各种推理，上面的这些方法都是把算理和法则融合在一起，有很高的思考价值。
画图的解法运用了数形结合的思想，也就是在一个边长为1米的正方形中，长0.3米是3小格，宽0.2米是2个小格，画出来以后就是在一百格里面有6个，所以是0.06。这种方法非常直观，通过阴影部分与整个图的关系得出阴影占百分之六，百分之六就是0.06。这说明学生能够借助前面的经验来解决问题的，而且学生的形象思维比较丰富。在具体直观的图中，学生理解了算理。
其余几个孩子的想法，他们都有逻辑推理的过程：像 0.3乘0.2，他只把0.2扩大10倍，2乘0.3是0.6，然后把0.6再缩小10倍，就是0.06，他是在原有旧知识——0.3乘2已经掌握的基础上，探究0.3乘0.2的，最后得出结果是0.06。
学生的这些方法都是很可贵的，具有思维价值，值得教师很好地挖掘。这些做法已经把算理和具体的计算方法有机地融合在一起了，不必单独拿出来给学生讲算理。作为教师，在课堂上，应该好好地保护学生这种可贵的创造精神。
在案例的探索过程中，有的老师不禁要问：“要不要在这儿花那么多工夫？”回答是肯定的。在新的数学知识学习过程中，如小数乘小数学生第一次接触，一定要帮助学生在解决问题过程中，理解计算的道理，包括利用直观图、老师对学生的分析讲解等；让学生在理解的过程中，掌握具体的计算方法。
小数乘法学生没学过，但他们可以用直观、逻辑推理的方法来解决，这些方法都是用旧知推出新知，最后大家得出计算方法：小数乘小数的法则是先把整数相乘，然后，看它因数的小数位共有多少位，再从右边起，点出几位小数，这就是具体的计算方法。
我们再来看一节两位数乘一位数竖式计算的案例，执教者是杭州的特级教师丁杭缨老师。
【案例2】教师如何帮助学生理解算理
片断：
在具体情境中，提出问题，学生列出乘法算式21X3。教师在引导学生探索方法中理解算理。
师：21乘以3到底等于多少呢？你能不能用以前学过的方法来解决这个问题呢？请你打开草稿本，把21乘以3等于多少，你是怎么算的，写在草稿本上。
生独立探索（略）
师：谁来解释一下，他是怎么想的？
⑴20 ×3=60 ⑵ 2 1
1×3 =3 × 3
60+3= 63 6 3
生1：他是先把21分成两份，一份是20，一份是1，然后用3乘20等于60，还有3乘1等于3，3加60等于63。
师：对，用了昨天我们学习的方法来算今天的知识，把21分成两个部分，刚才这个小朋友已经说的，分成20和1，很好，然后再来看哪个小朋友的？
生2：我想先看那个小朋友的竖式写法。
师：好，我们一起来看这个，这正是我们这节课学习的重点，用竖式来计算乘法，看明白了吗？
生3：看明白了。
师：我还不明白，我请这个小朋友上来，跟大家说，你这个3是怎么来的，6是怎么来的？
生4：这个1乘3等于3，乘法里面还另有乘法，2这里没有，乘法就不一样的，2再斜过来，2乘3等于6，就算出来是63。
师：你们听明白了吗？
生：听明白了。
师：你们都听明白了。什么叫2斜过来了，斜过来的意思是什么，你来说，就是十位上没有，把2乘以3，刚才他是用3去乘个位上的1，十位上有没有跟3相乘，所以他就告诉大家，要斜过来，别忘了2再乘以3，是这个意思吗？
师：这个3表示什么意思，我要把这个3用红色的圈出来，3表示什么意思？
生5：表示3个1，
师：所以这个3要写到个位上，6表示什么意思？
生6：6个10，
师： 6个10是怎么来的？
生7：因为那个2是20，不是2，十位上的2乘3是6个10。
师： 6是20乘3得到的，所以它表示的是6个10，因此6就应该写在十位上。谢谢你给我们一个竖式，本来是我要教的，结果你一写上来，就变成你教大家了，看明白了吗？
师：那我们来看这个竖式，他这个竖式是很有创意的，我们来看看你为什么这样写？
生8：把这个约等于60，在这里3乘1等于3，3再加60等于63。
师：这是很有创意的一个竖式，我们给他命名为“曾氏竖式”，他说的第一步是大约的，20几乘3，等于60几，等于60几呢，然后他再乘个位上的等于3，最后再加上前面的60，结果等于63。道理还是有一点的，对不对？我觉得这个曾同学还是很不错的，老师没教过他，他自己发明了一个竖式，就是发明的这个竖式，和我们现在规定的竖式不大一样，我建议你用这样的竖式来计算，可以吗？
师：我就把你有创意的竖式，很不忍心地擦掉了，同学们我们今天学的乘法的竖式，是我们今天学的重点，但是我们在解决这个问题的时候，我们还可以用昨天学的知识，那就证明昨天的知识和今天学的知识肯定是有联系的，对不对？有怎么样的联系，我们来找找它们之间的联系好不好？
师：我点一个竖式中的数，你告诉我他相当于横式中哪一步呀，你把它圈出来吧。
师：那么谁愿意上来点点看，在这个图中是指哪一部分呢？
师：看来它们之间有着密切的联系，我们把同学们的回答总结一下。
（学生在把竖式中的结果与图联系时的确有困难）
师：你上来指指看是指哪一部分，在图中是指哪一部分？刚才这一个小朋友指的是这一部分3乘1，那么现在2乘3十位上的2乘3是指哪一部分呢，圈一圈哪一部分？
师：你看竖式中的每一步和我们刚才口算当中的每一步，还有跟我们的图形它都是有联系的，我们一起来看大屏幕，老师为了把刚才我们点的把它写上来，你看三个羽毛球相当于口算中的1乘3，相当于竖式中的个位上的1和3相乘；再请你看我们第二次的时候，我们是这样子的来说的，接下去这根线应该连到哪里去呢，6，好，脑子里都联清楚了，原来这三者之间是有联系的。
好！同学们，刚才我们通过这样的计算得到最后的结论是，21乘以3等于63个……
刚才丁杭缨老师这个教学的片断给我们最大的启发有两点：
①老师给足学生探索的时间和空间。
过去教师往往是把把竖式呈现给学生，让学生模仿，只要计算正确，就算完成教学任务。这种只关注学习结果，忽视计算过程的教学就失去了学生独立思考探究的机会。丁老师在课堂上鼓励学生，让他们用自己的方法来解决问题，为学生的数学学习发展创造了良好的条件。我们看到课堂上有的同学列出横式进行口算的，20×3=60
1×3=3
60＋3=63
21乘3，先用20乘3得60，再用1乘3得3，最后把这两个结果加到一起得到63。还有的同学用竖式来计算，
这位被老师称为很有创造性的算法，算式里将估算和运算相结合，老师给了学生一个交流的平台，并热情地给予鼓励。正是因为学生给学生一个宽松的、自主尝试的机会，才让学生对算理与计算方法有了这样一种体验和感悟。由此使我们想到计算教学的价值决不仅仅是只会计算就行了，而是在计算过程中激发学生积极主动地探索，使学生的创造潜力得以发挥。在课堂上，我们还看到老师收和放都比较自如，恰到好处地在学习探索中给予引领。在这点上也给我们较大的启发。
②在直观教学中理解算理。
面对学生各种各样的算法，教师精心地设问，引发了学生更深层面的思考。在横式、竖式的比较中，沟通了它们的联系，特别是在算式与直观图形的比较中，深刻地理解了算理。如老师提问计算结果的“60”、“3”各表示什么意思，在图中你能够找到它吗？教师帮助学生在口算、竖式和直观图建立它们之间的联系，巧妙将算式和实物相结合。学生在联系中理解了21×3的算理。教师把抽象的算理具体化、形象化。站位高，有想法。
但是，也有一点遗憾，就是当那个学生写出的算式和规定的算式不一样时，老师肯定他的算式很有创意，可是老师最后还是不忍心地将这个算式擦掉了，这真是有点遗憾。因为把孩子们富有创造力的想法展示在黑板上对学生是具有激励作用的。其实把这个算式留在黑板上，让孩子进行比较，在比较中进行思考，通过思考加深对乘法的认识。
这个片断用时比较长，但重视学习过程是非常值得的，它远比直接告诉学生具体的计算方法要厚重得多。虽然占用了一些时间，但这个过程是非常重要的。教师舍得给学生时间，让学生在这样的一个时空里得到很好地交流，他们的创造思维得到了充分地展示。学生在这样的课堂里学习数学，学生的数学能力会不断提升，他们能够掌握更多的数学学习方法，而师生的交流促进了学数学学习的发展。。
作为小学数学教师，要不断地学习和深刻地领悟运算中的算理；另外要在算理与具体的教学方法有机结合方面进行很好地探索；使学生能够在直观的、数形结合的实践操作活动中，进一步深刻地感悟数学计算的道理，很好地掌握计算的方法。
2.如何面对学生的错误
谈到科学地培养学生计算技能的问题，我们不能回避如何面对学生的错误。如何处理学生出现的错误是提高计算能力的一个重要的方面。前面我们讨论了学生在计算中经常出现的问题，现在针对如何避免学生计算的错误提出几点建议：
（1）要深入了解学生计算的现状，准确分析错误的原因
作为老师，只有真正地了解了学生出现错误的原因，准确地分析出学生错误的原因，才能有的放矢对学生进行有效地指导。我们在分析学生错因的时候，有的老师归结到是学生的马虎——审题不认真，计算不认真。那么在这马虎的背后是不是要细细地思考学生到底为什么出错呢？我们对学生的错题做了调研，下面把学生的错误原因和老师们进行交流。
以“25×3=75”为例，学生怎么会得95呢？表面上是操作程序的错误，实际上是算理不清楚。我们在与学生交流时发现，学生做错的原因是3乘5等于15向十位上进1，把2先加上进来1得3再乘3，结果得95。学生的问题是对乘法的算理的不理解，因此导致了计算方法的错误。老师只有深入了解学生，找准错误的原因，针对学生的问题进行指导，这样才会有实效。
以“1.44÷1.8 = 8”为例，这道题错误的原因又是什么呢？在与学生交流时发现：学生不管被除数和除数小数位数各有多少位，都给化成整数了，所以1.44除以1.8就得8”。实际上这个学生还是对小数除法的算理不太清楚，必然导致该错误的出现。
以“49+1-49+1=0”为例，学生为什么会出现这样的错误呢？混合运算的顺序学生是清楚，为什么有近50%的孩子会出错呢？学生对于形式上相似而实质不同的算式分辨不清，这就需要学生具有细致辨别的能力。
我们做过调研，学生单独做这样的题，错误率没这么高，而和其他的题目混在一起计算的时候错误率很高，说明学生定势思维的干扰。
怎样处理学生的错误呢？当学生出错时，不妨让学生自己改一改题目，把两个加号都改成乘号，49×1-49×1，这才得0呢！让学生自己改题，这种针对性的训练是非常必要的！抓住学生的错误不放往纵深发展，让他自己反省。只有准确地把握住学生错误的原因，才能对症下药。
（2）帮助学生自己反思错误的原因
教师不仅要了解学生错误的原因，而且一定要帮助学生自己反思错误的原因。比如有一位学生一直把“三八二十四”的口诀误记成了“三八二十六”，教师就要引导他自己发现错误的原因。当学生自己发现真正错误原因后，学生恍然大悟，“我怎么一下子把错误的口诀记了这么长的时间呢？”；另外老师们提到的除数是小数的除法，把小数转化成整数计算，学生干脆把讨厌的小数点全部划掉，就是144除以18，像这样的学生，教师一定要把他找来，让他自己反思，帮助他找原因，老师一定要给予学生具体地指导，而一对一地对学生进行指导是非常重要的。
（3）选择合适的训练方法，帮助学生减少错误
第三个建议就是选择合适的训练方法，而训练素材就显得十分重要。前面我们也看到了张天孝老师和李祖功老师的教学经验，他们不是海练、不是盲目地练，不是用题海战术来提高学生计算的正确率。我们应该科学地进行训练，哪些题该训练，哪些题一定要在课堂上呈现或者需要反复地练习，教师一定要做到心中有数。根据学生的错误设计练习，进行有针对性地练习。这种做法对学生计算水平的提高是非常有效的。
3.科学培养学生运算技能的建议
为促进学生形成运算技能，加强练习是十分必要的，练习时要注意科学性，讲求实效。一线教师在这方面有很多经验，到底如何科学地培养学生的计算能力呢？
（1）首先应当以《标准》为依据，逐步达到《标准》中所规定的计算要求
课程标准对计算基本的要求如下：
——20以内的加减法和表内乘除法口算，速度要求是每分钟8至于10题；
——三位数以内的加减法每分钟2至3题；
——两位数乘两位数每分钟1至于2题；
——除数是一位数被除数不超过三位数的除法每分钟1至2题。
（2）处理好展开和压缩的关系
计算教学中要处理好一个关系——展开和压缩的关系。刚开始学习做题时，应该一步一个脚印来展开，先怎么做，再怎么做，最后怎么做，这些步骤学生一定要明白。如两位数加两位数笔算加法：先把相同数位对齐，从个位加起，满十向十位进一；而且这个步骤要一步一步来，等到熟练以后这个过程就可以压缩了，压缩到学生不加思索就能做出来。比如说10以内的退位减法，有的老师用破10的方法，15-7=8，先用10-7=3，再用3+5=8。让学生在动手操作的基础上掌握计算方法，以后学生完全压缩到自己都不能意识的程度，15-7=8很快就得出结果，这就是基本的计算技能训练到位的表现。
（3）精心组织练习
练习的呈现方式要多种多样，而且要符合学生的认知特点，激发学生的兴趣。这就需要教师精心地准备练习。
在学习除法时，老师设计了这样的练习：
⑴363÷3 549÷9 48÷4 54÷6 185÷5
让学生体会商是几位数？这是基本的练习题
⑵（ ）÷6=商是两位数
这个题目比较开放，体现了思维的灵活性和逆向思维。
⑶写出三个商是8的算式
这个题目更开放，被除数、除数都没有确定，因为让学生写3个，学生没有有序思考的意识。
⑷你能尽可能多的写出商是8的算式吗？（强调有序）
这道题的设计会和探索规律紧密结合；学生能够在书写的过程中，逐步找出规律，从而在总结规律的基础上得出更普遍的结论，又体现了方法性知识——有序思考的渗透。
志品质等层面。这样的练习就做到了有层次、有针对性，而且有效。
对于新学习的内容要及时练，及时反馈，因为遗忘是先快后慢的；对于旧知识不是不理不睬，在学习新的技能时要把学过的计算技能纳入进去；老师在选择练习时，要把那些容易错的、易混的、具有强信息干扰的、思维定势的题目多练。如：24×5和25×4、15×6和16×5学生特别容易混，就要对比练；而对于12×2、13×3这样没有进位的题目，就少练。
（3）注意练习的及时反馈，有效地进行调控和指导
加强对学习有困难的学生的辅导。正确认识学生个体的差异，因材施练，关注每个学生的学习，注意了解分析错因，有针对性进行辅导。
（4）合理地安排练习时间
根据计算形成的各阶段的特点，应适当地分配练习的次数和时间，技能的形成和巩固需要有足够的练习次数和时间，但是并非练习的次数越多，时间越长，练习的效果就越好。作为教师不能一味的“傻练”，认为“多多益善”的想法是不科学的。
以上，我们为大家抛出了一些案例，提了一些思考问题，也布置了作业。但时间比较紧张，要完成所有作业不大可能，希望老师们能针对某一个在教学中感受最深的问题认真思考。
三、有关算法多样化的教学
1.算法多样化的价值
算法多样化的价值主要体现在一下方面：
第一，算法多样化有利于培养学生的创新精神，有利于学生的自我建构，使他们的潜能得到充分地发展；
第二，算法多样化有利于学生之间的交流，使学习资源能够共享；
第三，算法多样化有利于老师对学生的个性地了解，从而施行因材施教。
看完这个案例，对我们有几点启发。
（1）创设情境，给学生独立思考的空间
学生的这些想法体现了学生思维的灵活性，都是很有价值的，有直观的方法，有转化方法——除法转化成乘法、分数转化成小数，更值得一提的是学生看到分子是除数的倍数，就直接用分子除以除数，分母不变，体现了学生自我建构知识的过程。
(2)激发学生不断交流不断反思自己的计算方法
老师并没有满足于学生多样化的算法，又设计了这样 ÷3；正是这个题目的呈现，使学生产生了冲突，学生感到自己的方法具有局限性，从而把学生的思维引向深入，学生认识问题的深刻性得以体现，选择方法的能力更强，这正是吴老师提倡的“允许学生再次选择有思维价值的方法”。在计算中，学生发现4÷3觉得不方便了，0．8÷3也除不尽；学生觉得还是利用乘法比较方便，而且能够解决这一类问题。学生在这一过程中进行广泛的交流，在交流中相互碰撞、自我反思、自我修正，不断地接纳，提升了每种方法的价值，这正是数学的本质所在。让学生对原有方法的自我反思和自我修正的过程。
学生在二次反思后，在巩固练习中，还有新的感悟和体验。由此我们深刻感到学生的体验和感悟是需要一个过程的。换句话说：学生能够根据不同的题目，选择合适的算法和策略，灵活地解决问题。
2.算法多样化教学的建议
在实施算法多样化的过程中，我们给老师提出以下几点具体的教学建议：
第一，鼓励学生的独立思考，主动探索出计算的方法；
第二， 鼓励学生在独立思考的基础上进行交流；
第三，老师要善于比较不同方法的特点，挖掘不同算法的思维价值；
第四，教师要善于引导学生分析比较，在学生的质疑、辨析中促进学生对自己方法的反思和提升；
另外，教师有责任用适当的形式，向学生推荐一种比较好的算法，帮助学生进行再次选择。
