“三角形的内角和”教学设计和意图
朱乐平
基础分析
学生在学习“三角形的内角和”时，已经有的主要基础是：角的认识，知道了角的各部分名称和角的表示方法，会用量角器量角;掌握了锐角、直角、钝角、平角等概念；掌握了角的大小比较的方法，即用重叠的方法和用量角器量角的方法比较大小，已经经历了把两个角撕下来与一个角去重叠进行大小比较的过程。
过程与意图
根据学生已有的基础，围绕预设的教学目标，确定这节课的教学过程与设计意图如下：
一、观察与猜测
1.教师出示图1，让学生观察∠1，猜测它的度数，并度量。
先让学生估计∠1的度数，猜测它是多少度。一般来说，不同的学生常常会估计出不同的结果。根据结果不同这一情况，要求学生想办法进一步说明自己的猜测是否准确，启发学生用量角器进行度量。但度量也可能会有一点误差，教师不必强求统一。
2.教师延长∠1水平的这条边，形成图2，让学生观察图2中的∠1与∠2，猜测它们和的度数并度量。
由于已经观察、测量过∠1的度数，实质上这一教学过程只要观察与猜测∠2的度数，再与∠1相加，即可得到结果。与上一环节一样，学生会有不同的猜测结果。教师可以启发学生度量，得到相对比较准确的度数，但度量也存在一定的误差。
3.教师在图2的基础上形成图3，让学生观察、猜测∠1+∠2+∠3的和，并度量。
这一环节的教学与上面的过程类似。由于前面在度量∠1. ∠2时，一直有误差存在，所以，通常是多数学生量出的结果是180°，但也有一小部分学生度量的结果在180°左右，如可能是179°，178°，181°或182°等。
【设计意图】从学生观察、猜侧、度量一个角的大小开始进行教学.起点相对比较低，有利于全体学生的主动参与从一个角到两个角的和，再到三个角的和的度量，自然地得出了“角的和”的概念.到三个角时，形成了三角形，为学习“三角形的内角”以及“三角形的内角和”的概念莫定了基础。总体上说，上面的教学环节，让学生经历了观察、猜侧、度量的过程，一方面有利于培养学生的观察能力和空间想象能力，形成良好的空间知觉，进一步熟练用量角器量角这一技能;另一方面为进一步形成猜想，探索三角形的内角和莫定基础。〕
二、猜想与验证
1.明确内角概念。
教师讲述：上面的图3显然是一个三角形，∠1、∠2、∠3都在三角形的内部，我们称它们是三角形的三个内角。∠1、∠2、∠3这三个内角的和就是三角形的内角和。这节课我们要进一步研究的就是：三角形的内角和到底是多少度。
2.形成三角形的内角和是180°的猜想。
（1）根据度量形成三角形的内角和是180°的猜想。
师生对话：刚才我们全班同学经过猜测、度量得出了三角形的内角和，多数是180°，但也有的是比180°小一点或大一点。如果三角形的内角和是一个固定的值，我们全班要形成一个猜想，那么应该猜测三个内角的和是多少度呢，启发学生形成猜想：三角形内角和是180°。
（2)观察、思考、想象形成三角形的内角和是180°的猜想。
教师用两条硬纸板做的一个可以活动的角进行演示，让学生观察三角形的三个内角变化的情况：
教师把用硬纸板做的这个活动角直立在桌面上，并与桌面形成一个三角形(如图4)，三个内角分别是∠1. ∠2和∠3，教师的手拿在∠3顶点的位置。然后把这个活动角向桌面压一下，形成一个新的三角形，让学生比较∠1.∠2和∠3大小的变化。学生会发现!∠1. ∠2在减小，∠3在增大(如图5)。我们可以假设∠1.∠2减小的度数等于∠3增大的度数，而三角形的三个内角的和保持不变。继续向桌面压，再观察、想象、比较，学生发现∠3越来越大，∠I和∠2越来越小。进一步想象，当压到与桌面平(重合)时，乙3是多少度，∠I和∠2呢，学生可以得出∠3是180°，而∠I和∠2都变成了0°。进而形成猜想!三角形的内角和是180°。
3.先独立思考验证猜想，然后交流验证的方法。
先让每个学生都独立思考，想办法验证这个猜想的正确性。由于学生已经有角的大小比较的方法，会有一些学生想到，把一个三角形的三个角撕下来与一个平角去比较(如图6)。然后在小组中交流，最后在全班交流，使更多的学生明确这个猜想是正确的。
4.教师介绍用“转动的方法”验证猜想。
（1)建立“调头等于转动了180°的观念。
先让学生看一个事实：如果一支铅笔的笔头指向左边放着，当它调一个头(即把笔头向着右边)时，这支铅笔转动了180°(如图7)。教师可以让学生转一转。
通过上面的转动，学生明确了一个事实：“调头等于转动了180°。 "(显然如果转动的角度是180°+n x360°,n为自然数，也是调一个头。但由于学生没有学过大于360°的角，所以，在这里教师不必强调这一点)
（2)用转动的方法验证猜想。
教师可以用硬纸板做一个三角形，用一支铅笔在这个三角形内部转动，演示如下：
①先把铅笔放在与三角形的一条边平行或重合的位置(如图8)并向学生说明，现在铅笔的笔头是指向右边的。如果经过几次转动，使得这支铅笔的笔头指向左边，那么，就说明这支铅笔转动过的几个角度的和是180°。
②如图9那样转动铅笔，这时铅笔从原来位置到现在新的位置转动了一个角度。这个角度具体是多少度不知道，但角的度数与∠1的度数相等。
③继续转动铅笔，使得铅笔转动到如图10所示的位置。这时新转过的角的度数与∠2的度数相等。这支铅笔从一开始的位置，转到现在这个位置，一共转过的角的度数与∠1+∠2的度数相等。
④继续转动铅笔，使得铅笔转动到如图11所示的位置，这时新转过的角的度数与∠3的度数相等。这支铅笔一开始的位置，转到现在这个位置一共转过的角的度数与∠ 1+∠2+∠3的度数相等。
显然，这时的铅笔与开始转动以前比较，正好“调了个头”，即由原来笔头指向右边，变成了笔头指向左边。根据上面的事实，这支铅笔正好转过了180°。可见∠1+∠2+∠ 3 =180°，即三角形的内角和是180°。
一个三角形如果三个顶点标有字母(如图12)，则可以把三角形的内角和写成：∠A+∠B+∠ C=180°
〔设计意图〕上面的这个环节是一个猜想与验证的过程，只有形成合理的猜想，验证才有目标。在上述教学过程中，利用两种方法让学生形成猜想:一是利用度量，二是利用“极限”。由于多数学生量出三个内角的和是180°，这为形成统一的猜想莫定了基础。教师再利用活动角进行演示，让学生观察、思考、想象，使学生更确信这个猜想有其合理性。事实上，只有猜想三个内角的和是180°，才可能与平角发生关系。可见这里形成统一的猜想十分重要。在上述教学过程中，之所以通过两种方法去形成猜想，就是想让更多的学生感觉到，三个内角的和是180°的可能性很大。另外，观察活动角的演示过程有利于培养学生的空间想象能力。把“三个角撕下来”拼在一起这个验证的过程，实质上是三个内角与一个平角比较大小的过程。由于在“角的大小比较”这一课，学生学会了把两个角撕下来与一个角去比较大小，这样一种重叠的方法，所以，在这节课会有很多的学生想到，把三个角撕下来与一个平角去比较大小。教师再用转动的方法验证，由于这种方法比较有趣，学生都十分愿意操作，所以这一过程，一方面有利于培养学生学习数学的兴趣，另一方面也有利于提高学生动手操作和空间想象的能力。
三、练习与应用
1.教师引导学生独立地根据∠A+∠B+∠C=180°编题，并解答。
可以先引导学生编出两类基本问题：（1)在∠A. ∠B. ∠C这三个角中，已知其中的两个角的度数，求第三个角的度数。（2)在∠A. ∠B.∠C这三个角中，已知其中的一个角的度数和另一个角与已知角的关系，求第三个角的度数。
2.判断正误。
在一个三角形ABC中(如图13)沿着一条高剪开，形成三角形,ABD和三角形ACD。请判断下面的说法是否正确，并说明为什么。
（1)三角形ABC的内角和是180°;
（2)三角形ABD的内角和是90°;
（3)三角形ADC的内角和是90°。
四、课外作业
1.基本练习。(略)
2.拓展应用。研究四边形、五边形、六边形的内角和分别是多少。进一步探索一般多边形的内角和有什么规律。(提示：可以用把一个多边形分成若干个三角形的方法，也可以用转动的方法)
「设计意图」让学生根据三角形的内角和的公式自己编题，有利于学生更好地理解和掌握这个公式，进一步明确公式中几个角之间的关系。让学生判断正误，有利于学生从反例中更好地认识到，任意一个三角形的内角和都是180°。课外作业分为基本练习与拓展应用，对成绩一般的学生来说，只要求做基本练习，而对数学能力比较强的学生来说，进一步去研究拓展性的问题，能使得他们有更大的发展这样的作业试图体现“因材施教，让不同的学生在数学上得到不同的发展”这样的教学理念。〕
（本专辑由杭州现代小学数学教育研究中心供稿，文章来源：小学青年教师 数学版2006.3）
