今天我们来说说宋元数学四大家的最后一位--元代数学--家朱世杰。宋元时期的数学是继承汉唐而来，但是也有其自身特点，主要表现为：表述体系的逻辑化、思想方法的抽象化。这是之前的中国数学所不具备的，因此，宋元时期的数学是我国古代数学史上繁荣的顶点，在宋元之后，中国古代数学再无开创性的人物和成果。随着明清两代皇权的不断扩大，专制制度的不断加深，八股取士的确立，都对于自然科学是一种摧残，因此，中国古代数学逐渐走向了没落。一直到清末，被坚船利炮轰开国门之后，才又开始了睁眼看世界，西学东渐，中国数学才又开始了新的征程，然而时间已经过去了500年。而这500年正好是西方数学绽放异彩的500年，而对于我们来说，却是失落的500年。
朱世杰在13世纪末的时候出生在燕山（现在的北京），字汉卿，号松庭。他从未当过官，一生都以数学研究和教育为事业，传说他到扬州的时候，'踵门而学者云集'。他一生最大的贡献就是创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法。另外还创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，后者通常称为招差术。他的代表著作包括《算学启蒙》和《四元玉鉴》，后者代表着宋元数学的最高水平。
《算学启蒙》是一部通俗数学名著，全书共三卷，20门，总计259个问题和相应的解答。这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就'天元术'，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。但是后来曾经一度在国内失传，明清两代的学者只知其名，并未见过这本书。不过好在这本书在流行的时候，远传朝鲜和日本，对当地的数学产生了非常大的影响。后来到了清嘉庆年间，朝鲜人到中国才发现中国已经没有了这本书，就根据朝鲜国内的顺治十七年的版本，重新雕版印刷，中国这才又重见《算学启蒙》。
算学启蒙
朱世杰的另一本传世杰作就是《四元玉鉴》，共三卷，24门，288问，介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法--四元术，以及高阶等差级数的计算--垛积术、招差术等方面的研究和成果。在之前的文章中，我们介绍过天元术。天元术是只有一个未知数的方程，而朱世杰在天元术的基础上推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，并且创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法。他把常数项放在中央（即'太'），然后'立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上'，'天、地、人、物'这四'元'代表未知数，(即相当于如今的x、y、z、w，)四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其它各项放在四个象限中。列出四元高次方程后，再联立方程组进行解方程组，方法是用消元方法解答,先择一元为未知数，其它元组成的多项式作为这未知数的系数，然后把四元四式消去一元，变成三元三式，再消去一元变二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求得正根。这是线性方法组解法的重大发展，在西方，较有系统地研究多元方程组要等到16世纪。
四元玉鉴
在四元术之外，高阶等差级数求（垛积法）和与高次内插法（招差法）也是《四元玉鉴》的重要内容。朱世杰发展了沈括的隙积术，杨辉的堆垛术，郭守敬的平立定三差法，他对于一系列新的垛形的级数求和问题作了研究，从中归纳为'三角垛'的公式，实际上得到了这一类任意高阶等差级数求和问题的系统、普遍的解法。朱世杰还把三角垛公式引用到'招差术'中，指出招差公式中的系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式。在'招差法'方面，朱世杰给出了明确的招差公式，这个要比西方早了400多年。
招差术
《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作。现代数学史研究者对《四元玉鉴》给予了高度评价。遗憾的是，朱世杰之后，元代再无高深的数学著作出现，汉唐宋元的数学著作很少有新的刻本，很多甚至失传了。乾隆三十七年开《四库全书》馆时，挖掘了不少古代数学典籍，朱世杰的著作却未被发现，因此，并没有被编入。1799年阮元、李锐等人编纂数学家传记《畴人传》时，也未介绍《四元玉鉴》。一直到清末，才又在扬州重新刊印出版了朱世杰的两本著作。
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