【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第265题

在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列．

(1) 写出这个命题的逆命题；

(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．

解： (1)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．

(2) 数列{an}的首项为a1，公比为q.

由题意知：2am＋2＝am＋am＋1，

即2a1qm＋1＝a1qm－1＋a1qm，

∵ a1≠0，q≠0,

∴ 2q2－q－1＝0,

∴ q＝1或q＝－1/2，

当q＝1时，

有Sm＝ma1，Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＋1＝(m＋1)a1，

显然：2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1.此时逆命题为假．

如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.

一些常见数列的前n项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n+1)/2；

(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；

(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.

非等差、等比数列求和的常用方法

1．倒序相加法

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．

2．分组转化求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．