【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第404题

典型例题分析1：

设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设f（x）=x3/3－2x2+8x/3+1，数列{an}的通项公式为an=2n﹣7，则f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

解：∵f（x）=x3/3－2x2+8x/3+1，

∴f′（x）=x2﹣4x+8/3，

∴f′（x）=2x﹣4，

令f″（x）=0，解得：x=2，

而f（2）=8/3﹣8+8×2/3+1=1，

故函数f（x）关于点（2，1）对称，

∴f（x）+f（4﹣x）=2，

∵an=2n﹣7，

∴a1=﹣5，a8=9，

∴f（a1）+f（a8）=2，

同理可得f（a2）+f（a7）=2，f（a3）+f（a6）=2，f（a4）+f（a5）=2，

∴f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=2×4=8，

故选：D

考点分析：

导数的运算．

题干分析：

由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（2，1）对称，即f（x）+f（4﹣x）=2，即可得到结论．

典型例题分析2：

已知函数f（x）=xlnx+3x﹣2，射线l：y=kx﹣k（x≥1）．若射线l恒在函数y=f（x）图象的下方，则整数k的最大值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

解：由题意，问题等价于k＜（xlnx+3x﹣2）/（x－1）对任意x＞1恒成立．

令g（x）=（xlnx+3x﹣2）/（x－1），

∴g′（x）=（x﹣2﹣lnx）/（x－1）2，

令h（x）=x﹣2﹣lnx，故h（x）在（1，+∞）上是增函数，

由于h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0

所以存在x0∈（3，4），使得h（x0）=x0﹣2﹣lnx0=0．

则x∈（1，x0）时，h（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，

即x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0

知g（x）在（1，x0）递减，（x0，+∞）递增，

又g（x0）＜g（3）=3ln3/2+7/2＜g（4）=4+2ln4，所以kmax=5．

故选B．

考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值．

题干分析：

由题意得问题等价于k＜（xlnx+3x﹣2）/（x－1）对任意x＞1恒成立，令g（x）=（xlnx+3x﹣2）/（x－1），利用导数求得函数的最小值即可得出结论．

解题反思：

本题主要考查利用导数研究函数单调性、最值等性质，考查学生的运算能力，综合性较强，属于中档题．