解题研究|八类立体几何“动态”问题策略探究

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 一、前言

“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。在解决动态几何问题时。关键在于要注重动态元素所引发的图形变化过程,动中窥静,静中见静,以静止动。

二、 命题点分析

角度一:截面问题

截面问题是高考立体几何题中比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得平面的结果也具有一定的可变性。

例题1

数学第六感

点评：本题属于结论开放型探索性命题，可直接利用条件证明，也可在先假设结论成立，反溯其具备的条件或推出矛盾从而加以否定。这类问题求解关键是执果索因，追溯结论具备的条件。

例题2

数学第六感

角度二:动点轨迹问题

动点轨迹问题是高考立体几何“动态”问题最为新颖的一种命题形式，它重点体现了在立体几何与解析几何的知识交汇处设计图形。不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是高考表现最为活跃的一种题型。

例题3

数学第六感

点评：本题考查点到平面的距离，利用点到直线的距离将平面问题类比到空间中点到面的距离，据此找到满足题意的点是否存在即可.

例题4

数学第六感

点评：将动态的线线垂直转化为静态的线面垂直，是解决这类问题的主要方法。关键从两平面的交线等特殊直线入手，以静制动。

例题5

数学第六感

点评：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。不但考察了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考察求轨迹的基本方法，是最为活跃的一种创新题型。

角度三:折叠、展开问题

图形的折叠和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对关系和数量关系则发生变化。不可变量可结合原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。

例题6

数学第六感

角度四:最值范围问题

例题7

数学第六感

点评：化曲（折）为直，是研究空间几何体表面上两点路径最短问题的有效方法。其中，由于实现目标手段的多样性所引起的分类讨论应引起必要的重视。

例题8

数学第六感

点评：立体几何题中经常会涉及角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法

求目标函数的最值。

例题9

数学第六感

点评：由于目标函数是关于三次函数的最值问题，因此用导数求解最方便。

角度五:探索新问题

例题10

数学第六感

点评：由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不可确定，探索型问题正好通过这种“动态性”和不确定性考查学生的发散性思维。引入变量，利用空间垂直关系及向量数量积定义将几何问题代数化，是本题求解的关键。

角度六:定位问题

例题11

数学第六感

点评：利用向量的数量积将几何问题代数化，是求解空间几何动态问题最常见的方法，利用待定系数法求找法向量又是求解关键。

角度七:距离角度问题

例题12

数学第六感

点评：求两点间的距离或其最值。一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值。

角度八:实际应用题

例题13

数学第六感

点评：该题的背景为学生所熟悉，考查了学生阅读理解、空间想象及处理图形的能力。

例题14

数学第六感

点评:

1.所求三棱锥的底面积一定，高取最大值时，体积最大，高的最大值显然是球面上的点到三棱锥底面的最大距离，即为球的半径加上球心到三棱锥底面的距离。

2．将V表示为x的函数和用导数求函数最值。