高数问答68 分部积分法的一点小备注

问题  有同学发现，我们由不定积分的分部积分法可以得到

然后将各个等号两边减去积分项又得到0=1=2=···=n. 这显然是错误的，那么产生这一错误的原因是什么？

答  产生这一错误的原因是对不定积分的概念理解不深入，高数学习中的不少错误其实都跟对概念的理解不足有直接关系。

譬如我们设函数是在区间上的一个原函数，则也是的一个原函数，由于不定积分是的原函数的一般表达式，和都是函数的不定积分，所以在不定积分的意义下，(*) 式中的每一项本来就是完全相同的，因为由它我们只能得到比如

之类的等式，其中都是任意常数，而这些等式本来就是成立的。

对初学不定积分的人来说，类似于上述的错误时有发生，其实数学的表述经常力求简洁，所以要求对概念要力求清楚。就像不定积分的计算中，处理好积分常数，才不会产生类似本问题中出现的错误。

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