【数学科普】公理化方法——学好数学的利器

最近在讲解立体几何时，提到了公理化方法，对于学生学习立体几何帮助很大。

为了更好地了解和掌握公理化方法，本文试图从以下三个方面对其进行探索：

（1）什么是公理化方法？

（2）公理化方法有什么作用？

（3）公理化方法的优势是什么？

一、什么是公理化方法？

公理化方法就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理、公设）出发，通过严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法.

基本概念是不加定义的，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念定义，如中学数学中的点、直线、平面、集合等概念都是基本概念.

公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定，如“两点确定一条直线”“过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面”等都是作为公理的命题。

二、公理化方法的作用

1、概括整理数学知识.《几何原本》就是欧几里得用公理化的方法把零散的几何知识归为一体，树立了以公理化方法研究数学的典范。

2、促进新理论的创立.由于公理化方法把数学分支的基础分析得十分清楚，结构严谨有序，这就有利于比较数学各分支实质上的异同，从而推动和促进数学新理论的产生，促进数学基础的研究与探索，例如，非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的.

3、对其他学科有示范作用.由于数学公理化方法表迷数学理论的简捷性、条理性，以及结构的和谐性，为其他科学理论的表迷起了示范作用。其他科学纷纷效法，建立了自己的公理化系统。例如，牛顿仿效欧氏几何，把哥白尼到开普勒时期所积累的力学知识用公理化方法组成一个逻辑体系，使人们能够从万有引力定律（公理）和牛顿三定律（公理）出发，依逻辑方法把力学定律逐条推出.杰弗逊的《独立宣言》、马克思的《资本论》、马尔萨斯的《人口论》也都借鉴了公理化的思想方法.

三、公理化方法的优势

公理方法是使科学理论系统化的一个重要方法，经过公理化处理以后的知识，已经不是零散的感性知识的堆积，而是按着某一科学对象的内在联系。由于公理化方法可以揭示一个数学系统或分支的内在规律性，从而使它系统化、逻辑化，有利于人们学习和掌握。由于公理系统是一个逻辑体系，所以对培养逻辑思维能力和演绎推理能力有重要意义。

公理化方法也是在理论上探索事物发展规律，做出新的发现和遇见的一种重要方法，掌握了公理化方法，在某一领域可能会做出开创性的贡献。

通过上面的了解，我们发现，不仅在立体几何的学习中可以用到公理化方法，在我们学习数学中其他模块的知识甚至其他学科的知识时，利用公理化方法进行学习，依然可以起到事半功倍的效果。

你学会了吗？