高数问答47 单侧导数一定要用定义求吗

问题  不用导数的定义可以求单侧导数吗？如果可以的话，函数应该满足什么条件呢？

答  在满足一定的条件下单侧导数可以不用定义来求，有如下的定理。

定理  设函数在区间上连续，在内可导，且极限存在，则右导数存在并且有

证 任取，在上使用拉格朗日中值定理，得

上式是因为当时，也有，于是结论得证。

与之类似，我们也可以得出左导数的条件与结论。    □

这定理表明：

(1)如果分段函数在分段点连续的一侧的导函数的极限存在，那么可以不必用定义求单侧导数。例如问题48中的例题函数：

在的右侧满足定理的条件，于是右导数可以直接用公式求。

(2)如果分段函数在分段点处连续，且两侧导函数的极限均存在时，那么左右导数都可以用公式直接求(并且进一步地，如果左右导数相同，那么函数在分段点是可导的)。

这里我们再举一个例题，留给大家自行计算。

例  求函数

的导函数。

提示    首先判断函数在分段点的连续性，然后判断左右侧是否满足定理的条件（本题中满足），本题中在分段点是可导的，具体过程大家完成。

当然，我们还要提醒大家——如果不存在时，就不能断定一定不存在了，这个问题我们在前面已经讨论过了，大家可以再去温习一下。