高数问答77 定积分与不定积分的换元积分法之异同

问题  定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法有什么共同点与差别？

答  共同点是明显的。一般来说，它们都是建立在找被积函数的原函数基础上的积分方法，但更重要的是它们之间的差别和各自的特点。

1.不定积分的换元积分法

不定积分的换元积分法主要目的是通过换元，求出被积函数的原函数的一般表达式，有第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。第一类换元积分法也称“凑微分法”，它的特点是逐步将被积函数的原函数凑出来，而不必明显地将原积分换成新变量的积分后再求其原函数；第二类换元积分法的特点是必须把原积分换成新变量的积分，然后求出新变量积分的原函数，再在结果中将新变量换回到原来的变量，所以第二类换元积分法必须要求换元函数存在反函数，这只要就可以了，这是与第一类换元积分法的区别。

2.定积分的换元积分法

定积分的换元积分法的目的是求出定积分的值，这是它与不定积分的换元积分法的关键区别之所在。它在换元的同时，要相应地变换积分的上下限，将原积分变换成一个积分值相等的新积分。所以积分经过换元后，不必再去关心原被积函数的原函数是什么，也没有必要关心换元函数是否存在反函数，这是定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法的最大区别。

此外还有一些定积分，通过适当的换元，可以极大的简化计算，比如奇函数在对称区间上的定积分是0，以及一些其他有用的结论很多都来自换元法，也可以拓宽我们的思路。