2022年6月4日,笔者参加了一场考试,有这样一道有关等角共轭的试题:
问题. 设 为 内的一对等角共轭点, 分别与 再次交于点 , 在 上的投影分别为 ,求证: 共点.
在竞赛中,等角共轭似乎不常以这样直白的方式出现. 由于限制时间,我当场给出的证明是偏繁琐的,构造较多,走了不少弯路. 后来好友水稻点出了帕斯卡定理的思路,大大简化了过程. 我们也可以更加顺畅地推广这个简洁的问题.
证明:如图,设 ,导角易证 ,过 作 平行线交 于 ,导角易证 ,故 ,所以 同理,设 ,有
过 作 垂线与 交于点 ,则 ,又因为 ,所以 . 类似构造点 ,设 交于点 , 交于点 ,则由梅涅劳斯定理,有 根据位似, 共点,即 共点.
因为之前学习过纯几何吧4684等角共轭专题,所以笔者对这一构型中的比例关系比较熟悉(即证明中前两个比例式,出现在该专题的第一节). 在得到关系后,这道题已经褪去了等角共轭和外接圆的背景,于是试图通过比例线段证明共点,因此考场上未能注意到帕斯卡定理的存在. 构造 的用意是将两个相等的边比拼起来,还算自然,但在考场上梅涅劳斯的寻找用了我不少时间. 若从结论入手,以帕斯卡定理为核心的思路是比较自然的.
法二:帕斯卡定理
设直线 分别与 再次交于点 ,由 显然有 ,结合 易证 ,同理 .
所以 ,故 交于 上(交点记为 ). 对圆内接六边形 用帕斯卡定理即有 共点,即 共点.
事实上,要有 交于 上,只要 垂直的条件是不必要的,可有如下的推广:推广. 设 为 内的一对等角共轭点, 分别与 再次交于点 ,点 在 上,使得 ,求证: 共点.以上的两种方法对推广依然成立,法一中只需把 的构造方式根据 的方向做调整即可. 近一年来因为学业压力,本公众号未有更新. 新的内容还在准备当中,姑且发出这道一年前的题目. 关于本号未来的更新计划,欢迎阅读第二篇图文《关于后期更新》. 感谢各位读者的支持!
本站仅提供存储服务,所有内容均由用户发布,如发现有害或侵权内容,请
点击举报。