2022新高考2卷第15题----对称直线斜率之间的关系

如果有两条直线关于x=m对称，它们同样也会关于y=n对称,在这种情况下，它们的斜率之和为0.如下图：

很明显看出，左边直线的斜率为tana,右边直线的斜率就为-tana，二者之和为0，如果我们设其中一条直线斜率为K，则另一条直线的斜率就为-k。

简言之：关于x=a相互对称的两条直线，斜率互为相反数。

了解了以上知识点，第15题的思路就会变得清晰流畅。

按照惯例，我们要先把题设给出的图大致画出来，草图并不精确，但有了它，我们的思维就会有出发点和着力点，思维结果也有了最后的落脚点，这样做的目的是大大减轻大脑思维的负累，因为抽象思维很费脑力，我们大脑内存不够的话，最简单的办法就是把这种抽象的思维具象化，完成抽象——具象——回归抽象的思维路径。

不过假如您的脑力算力足够，那就可以完全不用草图这个过程。

题目是说如果一条直线和已知的圆相交，而这条直线的位置又和a有关，让你求取a 的取值范围，实际也就是B点的位置上下波动的范围。

判断一条直线和圆是否相交，有多种方法，常用的一种是直线方程和圆的方程联立，如果有解，那么就相切或者相交；如果无解，就是相离。

另一种方法就是计算从圆心到直线的距离，如果这个距离大于圆的半径，那就妥妥地相离；

如果相等，则相切；

如果小于半径，那就相交。

我们猜，这里用圆心到直线的距离判断是否相交更为简便，所以我们首先想到的是要把这条直线的方程写出来。

怎么写呢？

直线过点（0，a），只需要知道斜率即可。

AB的斜率为

那么l的斜率就应该是它的相反数

写出点斜式方程：

当然通过另一条思路也是可以达到这个结果：

因为直线l和AB关于y=a对称，那A点的对称点C的坐标就可以写成：C(-2，2a-3)；B点坐标（0,a），这样有了两点之后，就可以根据两点式写出直线l的方程。

当然我们这里还是想用本文开头给出的知识点，哪种方法其实都一样，都能得出直线l的方程：

给出的圆心（-3，-2），要让二者相交，只需圆心到直线的距离不大于半径1即可：

整理得：

本题考点总结：

1、两直线关于x=a或者y=b对称，则两直线斜率互为相反数，之和为0.

2、直线的方程：点斜式、两点式等

3、点到直线的距离计算

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