近年来，高考物理试题及高考物理模拟题有不断变深、变难的趋势，有些物理试题的深度已接近于物理竞赛题或大学物理题。比如，有关高等数学中微积分知识的应用，就常常出现在变速运动位移的计算、变力做功的计算等等物理试题中，今天本文就对有关“人船模型”、“弹簧系统”的物理试题中微积分的应用进行一些探讨，希望能对高中师生以后解答这类试题有所帮助。
一、简单的“人船模型”试题
[题目]如图所示，质量为M的船停在静止的水面上，船长为L，一质量为m的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程中人相对于静止水面移动的距离为多少，船相对于静止水面移动的距离为多少？
这道题是宁夏石嘴山市第三中学2018届高三12月月考物理试题中的一道试题，类似的题目还出现在“云南省昆明师范专科学校附属中学2022-2023学年高二下学期6月月考物理试题”、“江苏省盐城市东台创新高级中学2021-2022学年高二下学期2月月检测物理试题”、“山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中考试物理试题”、“辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末物理试题”等等试卷中。
这类试题的解答都是运用动量守恒定律，先得出人和船相对于静止水面的速度之间的关系，即选相互作用的人和船组成的系统为研究对象，设人和船的速度分别为v1和v2（这里v1和v2都可以随时间变化），整个过程中人和船的位移分别为x1和x2，则有：
mv1+Mv2=0
对时间积分得：
则mx1+Mx2=0
根据人和船的几何位置关系可得：
x1－x2=L（x1的方向为正方向）
联立可解得：
（负号表示其方向与x1的方向相反）
二、复杂的“人船模型”试题
[题目]：如图所示，质量为m1的人站在船头上与质量为m2的船共同以速度v0在静止的水面上匀速航行，若不计水的阻力，某时刻人从船头开始向船尾走去，经过时间t，走到了船尾，船头到船尾的距离为L，求此过程中船的位移。
这道题与上一道题相比，难点在于船及上边的人原来就有共同的速度v0，所以系统的总动量不再是0。但解题的思路是相同的：
设人开始走动后人和船相对于静止水面的速度分别为v1和v2（这里v1和v2都可以随时间变化），在时间t内人和船的位移分别为x1和x2，则有：
m1v1+m2v2=(m1+m2)v0
对时间积分得：
则有：m1x1+m2x2=(m1+m2)v0t
根据人和船的几何位置关系可得：
x2－x1=L（v0的方向为正方向）
联立可解得：
这就是船的位移。
三、两物块通过弹簧相互作用的过程中位移的计算问题
[题目]：如图甲所示，质量分别为m1和m2的两物块A、B中间用一轻弹簧栓接，静置在光滑的水平面上。现给B一水平向右的瞬时速度，大小为3m/s。以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示。已知0~1s内，物块A运动的位移为0.4m。求：
（1）A、B两物块的质量之比；
（2）弹簧的最大伸长量。
这道题是山东省潍坊市2022-2023学年高三下学期学科核心素养测评物理试题中的一道题，类似的试题还出现在“重庆市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考物理试题”、“江苏省连云港市灌南县、灌云县2022-2023学年高二上学期期末联考物理试题”、“江西省八校2022-2023学年高二上学期第二次联合考试物理试题”、“江苏省连云港市灌南县、灌云县2022-2023学年高二上学期期末联考物理试题”、“山东省聊城市2022-2023学年高二上学期期末物理试题”等等试卷中。
解：（1）由图乙可知，v0=3m/s，t1=1s时，物块A、B的速度均为v=1 m/s，对物块A、B及弹簧组成的系统由动量守恒定律得：
m1v+m2v=m2v0
代入数值及可解得：
m1︰m2=2︰1
（2）已知0~1s内，物块A运动的位移为xA=0.4m，这段时间内弹簧不断被拉长，t=1s时两物块速度相等，弹簧伸长量最大。所以，只要能求出这段时间内物块B运动的位移xB，即可求出弹簧的最大伸长量Δxm= xB－xA。
设0~1s内，物块A和B运动的速度分别为v1和v2（这里v1和v2都是随时间变化的），对物块A、B及弹簧组成的系统运用动量守恒定律得：
m1v1+m2v2=m2v0
对时间积分得：
其中v0=3m/s，m1=2m2，设x0=v0t1，由图乙知x0=3m
则有：m1xA+m2xB=m2x0
代入数值解得：
xB=2.2m
则弹簧的最大伸长量为Δxm= xB－xA=2.2m－0.4m=1.8m。
最后，需要说明的是，像这样的试题，让所有的高中生都去解答，还是不太合适的，说不定还会使部分学生失去学习的信心。
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