我们的高等数学教材中在讲基本初等函数时出现了余切、正割、余割函数以及反三角函数，更令人苦恼的是，教材非常不负责任地说了这么一段话：
我们假定读者通过中学数学课程对上述六类基本初等函数的性质及其图形已有足够的了解. 因此，本教材略去关于它们的性质的叙述及其图形的描述
李忠,周建莹.高等数学（第三版）（上册）[M].北京:北京大学出版社,2023:20
但事实上，全国通用的人教版高中教材根本没有提及这些内容。没有办法，唯有自力更生了。以下是本系列的目录：
（三）介绍反三角函数的性质
1 中国古代三角函数命名 2 三角函数的“洋名” 3 三角函数的性质 4 三角函数的图象 5 总结
以上第1、2部分参考自网络
任何数学知识应当从定义说起。
首先我们应当感到疑惑的是，三角函数的名称——正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是怎样来的。解决这个问题有助于我们掌握这些三角函数的定义。
下图是中国古代的“割圆八线”图，看起来有些复杂，我们不妨一步步来。
1 中国古代三角函数命名
素材来源于网络
1.1 正弦与余弦
1.2 正切与正割
首先声明圆的割线的定义：与圆有两个公共点的直线（段）称为割线。
在上图的基础上，我们继续补充：
1.3 余切与余割
以相同的做法对图形继续补充：
同理，我们定义：
至此，我们定义六个常用的三角函数。
2 三角函数的“洋名”
首先是三个“正”三角函数的英文：
·正弦，词源自sinew，意为筋，乃弓弦之材，故正弦作sine，在符号中简写成sin。
·正切：词源自T-angle，有直角之意，故正切作tangent，简写为tan。
·正割：词源自section，有分割意，故正割作secant，简写为sec。
在英语中，前缀co-有共同、相互之意，因此与正角相对的角为余角，于是三个“余”三角函数的英文为：
余弦：cosine 余切：cotangent 余割：cosecant
分别简写为cos、cot和csc（因为已经用cos表示余弦，故余割取第1、3、5位字母构成简写）。归纳起来就是：
| 弦 | 切 | 割 | |
| 正 | sin[e] | tan[gent] | sec[ant] |
| 余 | cos[ine] | cot[angent] | csc(cosecant) |
3 三角函数的性质
一切性质从定义中来。在单位圆中，六个三角函数的定义为：
这样摆放的意思很明显，三个对于我们较为陌生的三角函数可以由三个熟悉的函数变形而来——具体地讲，是倒数关系。因此，所有适用于左列函数的公式定理，对右列函数来说只要“取倒数”即可。例如：
3.1 诱导公式
值得注意的是，在熟记了各三角函数在各象限的符号时，中学阶段所说的诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”仍然成立。其中“变”指的是“正”“余”互变。
第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；
第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“-”；
第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“-”；
第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“-”。
此外值得一说的是，其实除了相位含有奇数倍π/2的三角函数式，没有必要用到这句口诀，因为其他的三角恒等变换具有鲜明的几何特征。
三角函数的周期都是2π，因此自变量加减2π的倍数，函数值不变。
自变量加上或减去奇数倍π，实质是关于原点对称，弦、割的三角函数值变为相反数，切的三角函数值不变。
π-θ实质是关于y轴对称，只含y的三角函数（sin、csc）函数值不变，其余变为相反数。
相反角的实质是关于x轴对称，只含x的三角函数（cos、sec）函数值不变，其余变为相反数。
将三角函数与单位圆结合起来，往往可以达到事半功倍的效果。
诱导公式的实质是，将实数域内的任意角化归为[0,π/2]范围内的角进行计算，就像高中数学课本上画的导图一样：
3.2 导数
通过初等的求导运算，可以得到如下三角函数的导数公式：
当遇到一系列公式时，通常需要两个方法来加深理解和记忆：一是熟练掌握公式的推导过程（因此建议读者脱离上图自行推导几遍）；二是寻求公式的特点、联系与区别，若有可能则可以通过口诀记忆（如诱导公式的记忆口诀）。
观察上列公式，至少可以归纳出这组公式的以下特点：
（1）正余弦函数的导数为三角函数的一次项，其余为二次项；
（4）正余割函数的导数中含有其本身，另一项为分别为正余切；
（5）正角三角函数的导数为正，余角的三角函数导数为负。
4 三角函数的图象
由于正弦、余弦、正切函数的图象我们已在中学阶段熟练掌握，故此部分主要介绍余切、正割、余割函数的图象。
4.1 定义域
研究任何函数的起点是定义域。（理论上定义域应当在上一部分说明）
由于新加入的三个三角函数均为分式，因此定义域也都有限制：
这并不需要死记硬背，只要熟记函数的定义，想象一个单位圆，从实数域中挖去是分母为0的点即可。
4.2 值域
根据倒数关系，易得三角函数的值域如下：
4.3 函数图象
正弦、余弦、正切的图象不必说，据其图象与三角函数之间的倒数关系，容易作出另三者的图象：
函数y=csc x的图象
函数y=sec x的图象
函数y=cot x的图象
4.4 周期性与对称性
根据三角函数的倒数关系，三个三角函数也有周期2π（这里指角速度参数ω=1的三角函数），三个函数的对称性与原函数相同，即正弦函数与余割函数、余弦函数与正割函数、正切函数与余切函数的对称性相同。
4.5 渐近线
所有在4.1中被除去的点都是渐近线的横坐标。
5 总结
本节内容主要介绍了高中数学课程没有涉及、高等数学教材默认我们学过的另三个三角函数，遵循由定义到性质的研究路径，渗透了分类讨论、数形结合、化归等数学思想。
第1、2两部分通过介绍三角函数的中英文命名由来，深化对三角函数定义的理解。
第3、4两部分从定义推证到性质，通过将陌生的三个函数化归为熟悉的三个函数简化了研究过程。
最后，再次提醒：任何结论应当经自己之手推导出来，否则不为自己所有，亦不能为自己所用！
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