【高中数学精讲】集合与函数—集合的运算（1）交集

【学习导引】本节的内容是集合的运算。
一、交集
一般地，由集合和集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作,读作“交”，即

且

用韦恩图直观地表示的三种情况: （1）阴影部分表示集合有公共元素，也有非公共元素的情况下的;
（2）阴影部分表示集合是集合的子集情况下的;
（3）集合没有公共元素、即交集为空集.

交集的基本性质
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）若,则有；
反之若,则有.

二、并集
由所有属于集合或者集合的元素组成的集合叫做集合的并集，记作,读作“并”，即

或

并集的基本性质
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）若,则有；
反之若,则有.

三、并集
全集:在研究集合与集合的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集.这个确定的集合叫做全集,常用符合表示.全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.例如:讨论方程的实数解时，是在实数集中讨论的，这时将实数集指定为全集.讨论方程的有理数解时，又将有理数集当做全集.
补集:设为全集，是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集，记作，读作“补”.如图所示的阴影部分，即在大圆内，集合外的部分，表示的补集.即：

补集的基本性质
（1）;
（2）;
（3）。

【知识点1】交集
中的元素是“所有”属于集合且属于集合的元素，而不是部分，特别地，当集合和集合没有公共元素时，不能说与没有交集,而是.
求两个集合的交集的方法技巧
（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合“交”的定义求解，但要注意集合中元素的互异性.
（2）对于元素个数无限的集合，进行交集运算时，可借助数轴，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,但要注意端点值取到与否.
【例题1】若集合,,则（ ）.
..
.
..
..
详解：由交集定义，元素且.
∵元素既在集合中，也在集合中，
∴.
答案：.

【例题2】设集合,,则（ ）.
..
.
..
..
详解：∵,
∴,∴.
∵,
∴,∴.
∴.
答案：.

【例题3】已知集合,,则（ ）.
..
.
..
..
详解：∵,
∴.
∴.
∵.
∴.
答案：.

【例题4】已知集合,,若,则（ ）.
..
.
..
..
详解：∵
∴一元二次方程有一个根为.
∴，.
当时，一元二次方程为.
它的两个根为：.
∴集合.
答案：.

【例题5】设集合,.
（1）若,求实数的值.
（2）是否存在实数,使得?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
详解：（1）∵
∴.
代入至方程得：
.
解得：.
当时，集合与集合是相等的集合，它们的交集有无数个元素，不合题意，故舍去；
∴的值为.
（2）由集合可得：,
由集合可得：,
根据一次函数图像可知，当直线和平行且不重合时，方程组

无解， 此时:,
解得：.
所以，存在实数,使得.

【例题6】已知集合,,分别求符合下列条件的的值：
（1）.
（2）.
详解：（1）∵∴.
①当时，集合,
∴.
∴符合题意； ②当时，集合,
∴集合有重复元素.
∴不符合题意； 当时，集合,
∴.
∴符合题意；
综上所述，的值为或.
（2）由第（1）问可知，时，.
∴的值为.

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