2023新课标卷物理第22题与基尔霍夫定律

一、题目展示

（2023新课标卷物理第22题）在“观察电容器的充、放电现象”实验中，所用器材如下：电池、电容器、电阻箱、定值电阻、小灯泡、多用电表、电流表、秒表、单刀双掷开关以及导线若干。

（1）用多用电表电压挡检测电池的电压。检测时，红表笔应该与电池的___________（填“正极”或“负极”）接触。

（2）某同学设计的实验电路如图（a）所示。先将电阻箱的阻值调为，将单刀双掷开关S与“1”端相接，记录电流随时间的变化。电容器充电完成后，开关S再与“2”端相接，相接后小灯泡亮度变化情况可能是___________。（填正确答案标号）

A．迅速变亮，然后亮度趋于稳定

B．亮度逐渐增大，然后趋于稳定

C．迅速变亮，然后亮度逐渐减小至熄灭

（3）将电阻箱的阻值调为，再次将开关S与“1”端相接，再次记录电流随时间的变化情况。两次得到的电流I随时间t变化如图（b）中曲线所示，其中实线是电阻箱阻值为___________（填“”或“”）时的结果，曲线与坐标轴所围面积等于该次充电完成后电容器上的___________（填“电压”或“电荷量”）。

这种含有电容器的题目，而且还是考察充放电过程，我觉得要想透彻理解，必须借助于基尔霍夫定律或基尔霍夫方程。我们先从欧姆定律谈起，先了解三个欧姆定律及电路中电势的变化规律。

二.部分电路的欧姆定律

1.表达式

2.外电路中，沿着电流的方向电势逐渐降低。

如果令，那么

沿着电流的方向经过电阻后，电势下降了。

如果逆着电流的方向从到，显然电势升高了，

这里就出现了一个问题：电势降低为什么用“+”表示，升高用“-”表示？这和生活中的习惯截然相反。

这是因为我们通过计算电势差来表示电势的变化情况，电势差本身就是电势的减少量，初减末。如果电势降低，差值肯定为正，如果电势升高，差值为负。

如果差值为负，例如，这说明电势其实是升高了，但是形式上仍然可以理解为减少，减少了。

三.闭合电路的欧姆定律

1.表达式

下面我们来讨论整个电路中电势的变化规律，这是一个难点。个人认为这也是一个重点，如果不能理解这一点，就很容易出错，例如很多学生总是认为电源两极之间的电压就等于电动势，根源就在这个地方。如果能透彻的理解，不仅普通的电路轻松理解掌握，复杂的电路也很容易理解。基尔霍夫定律就可以理解为是闭合电路欧姆定律的推广。

很多常见的电源例如干电池、手机电池等，内部是封闭的，不容易观察，不容易理解其结构和原理，这给学习带来了很大困难，所以需要先了解电源内部的情况。

2.电源内部的结构及原理

对于电源的内部，新教材重点介绍了非静电力，易于理解，代价就是学生会误以为电源内部处处存在非静电力，无法理解内电路和内阻，更无法理解内电路的电势降落。我觉得还是老教材的讲法更好。

红色的两个字母是我自己加的，这样上下两个图更一致，更好理解一些。老教材明确指出，电源内部仅仅在两极附近的化学反应层内才存在非静电力，其他地方和外电路没有本质的差别，都有电阻电压和电流，只是位置不同而已，一个在电源内部，一个在电源外部。这种介绍无疑更准确，而且还用一个立体图形直观的展示了整个电路中电势的变化情况，远胜新教材。实际上新教材的电路部分我感觉内容安排的都很混乱，不如老教材。

如果感觉老教材讲的仍然有些不清不楚，比如化学反应层到底是怎么回事，非静电力到底是什么，可以看看其他资料，例如贾起民的《电磁学》

赵凯华的《电磁学》

傅献彩的《物理化学》

下面我们把新教材中的图进行了修改，并结合老教材中的图，详细分析整个电路中电势的变化规律。

3.闭合电路中电势的变化规律

为了便于理解，设电源电动势，外电阻，内阻。试通过计算说明整个电路中电势的变化规律。为了简单起见，仍然假设电路中是正电荷在定向移动形成电流。

外电压

内电压

外电路：沿电流方向，静电力做正功，电势能减小，电势降低。

负极处化学反应层：因为存在非静电力，非静电力做正功，静电力做负功，电势能增大，电势升高。为简单起见，可假设两个化学反应层对电势提升的效果一样，电势升高了。

内电路：沿电流方向，静电力做正功，电势能减小，电势降低

正极处化学反应层：因为存在非静电力，电势升高了。

如果规定电源负极电势为0，，那么其余各点的电势很容易算出。从到，电势升高了，所以；从到，电势降低了，所以，从到，电势升高了，所以。

也可以从电源正极出发，经过整个电路最终回到正极，电势的变化情况可以列式表示：

消去得：

这个式子也有具体的物理意义，它的重点不在于各点电势是多少，而是每一个过程电势变化了多少，电势降低用“-”表示，升高用“+”表示，所以这个式子告诉我们，整个过程，电势降低了两次，分别是和，电势也升高了两次，均为。由于又回到了出发点，整个过程电势的变化量为0。不过这里的正负号含义和前面介绍的正好相反。

如果式子两边都乘以，

这个式子也是表示每一个过程电势变化了多少，但是符号变了，电势降低用“+”表示，升高用“-”表示，这和前面介绍的符号含义一致。

然后移项得

这个式子也有具体的物理意义，注意等号左边两项都是升高的电势，等号右边都是降低的电势，等号说明闭合电路中，升高的电势的代数和等于降低的电势的代数和。

电势的这个变化规律，我们一定得搞清楚。为了便于理解，考虑生活中的情况。早晨出发去学校，兜里有10块钱，早餐吃了6块钱，然后遇到了大舅/大姨/大姑……，给了我30块钱，我决定中午要大吃一顿，下午放学回家，路上又遇到大舅/大姨/大姑……，给了我5块钱，回到家，数一数，兜里恰好还是10块钱，和早晨出发的时候一样。请问中午吃掉了多少钱？

很简单，29块钱。

这个结果是多少不是重点，重点是这个结果怎么算出来的？一天的过程中兜里的钱如何变化？为什么会变化？这些变化之间有什么关系？如何列式表达？

我们先列式计算兜里的钱是如何变化的，

这应该是最好理解的式子了，我们能清楚的知道经过每一次变化兜里的钱是多少。

如果我们关注的重点不是兜里的钱具体是多少，而是花了多少，长辈给了多少，可以这样列式，

花钱用“-”表示，长辈给钱用“+”表示，等号右边等于0是因为花掉的钱和长辈给的钱必须一样多，这样兜里的钱才不会变化（当然是最初和最终比较钱一样多）。

也可以反着表示，花钱用“+”表示，长辈给钱用“-”表示，

这种表示方法生活中很少见到。

也可以花钱写在等号一边，长辈给钱写在等号另一边。

我们变着花样列出不同的式子，一方面是为了多角度理解并表达这个过程中钱是如何变化的，另一方面当然是为了类比，为了更好的理解电势的变化规律。

下面考虑一般情况（无具体数值），还是从电源正极出发，经过整个电路最终回到正极，电势的变化情况可以列式表示：

这个式子的重点在于电势变成了多少。

消去得：

这个式子的重点在于电势变化了多少，电势降低用“-”表示，升高用“+”表示。

如果式子两边都乘以，

电势降低用“+”表示，升高用“-”表示。

移项得：

重点还是电势变化了多少，只不过电势降低和升高分别写在等号的两边。

以上针对的是纯电阻电路，如果考虑到所有电路，

消去得：

移项得：

最后这个式子就是课本中的结论：电源的电动势等于内外电路电势降落之和。

经过以上分析可以发现，电势的变化可以有多种形式表示，我们一定要理解其含义，千万不要被各种不同的形式迷惑了。其中电势降低用“+”表示，升高用“-”表示，这种形式比较常见，因为它来自于电势差的定义，计算电势差的时候会很自然的出现这个结果。

最后插入一点，电动势的定义很不好理解，非静电力做的功学生看不见摸不着，除以电荷量，更让人晕晕乎乎的，所以我在平时的教学中就把这个式子

作为电动势的定义式。电动势怎么理解？整个电路中电势升高了多少伏，电动势就是多少伏，让学生先有一个不太准确但是直观易懂的理解，然后再分析电势升高的过程中各力的做功情况、能量变化情况，最后引出课本中的定义式。我感觉我的思路挺好的，但是从教学实际来看，效果还是那样，学生一样还是晕晕乎乎的。

四.一段含源电路的欧姆定律

这有点像前两个欧姆定律的混合，部分电路，但是含有电源。那么这一段含源电路两端的电势差如何计算呢？

先看第一种情况。

由于电动势和内阻均会影响电势的变化，为了看得更清楚，我们可以想象把内阻从电源内部拿出来放到外面，也可以理解为实际的电源是一个没有内阻的电源和内阻串联而成。

从左端出发，沿电流方向向右，计算电势变成了多少

移项得：

沿电流方向，流过两个电阻，电势分别降低，从电源正极到负极，电势也是降低，降低的数值等于电动势，所以是三项相加。

再看第二种情况。

仍然想象把内阻从电源内部拿出来放到外面，

移项得

沿电流方向，流过两个电阻，电势分别降低，但是从电源负极到正极，电势升高，升高的数值等于电动势，

由此即可总结出一段含源电路的欧姆定律

1.内容：

电路上任意两点和之间的电势降落或电势差等于从到的路径上，各电阻上电势降落的代数和减去各电源电动势所产生的电势升高的代数和。

2.表达式

这里有一点需要说明一下。经过电源，电动势可能使电势降低，也可能使电势升高，定律中为什么都是升高呢？公式中为什么都是减呢？我们上面列的式子明明有加有减。

先看一个非常相似的例子：匀变速直线运动速度与时间的关系式。

不少学生会分情况记公式，记为形式1。

加速，

例如

减速，

例如

（这里是加速度的大小，始终为正值）

这种理解符合生活中的习惯，加速就加，减速就减，易懂易用，缺点就是得记两个公式。也可以统一成一个公式，全部都是加，

但是表示加速度，包括大小和方向，本身就有正有负，加速是正，减速为负（以初速度方向为正方向）。于是就有了形式2。

加速，

例如

减速，

例如

或者写成形式3，表示加速度的大小，加速运动同时表示加速度，减速运动表示加速度（以初速度方向为正方向），

加速，

例如

减速，

例如

不管哪种形式，说来说去其实就是“-”的位置问题。“-”是不可能从式子中消除掉的，只能从一个位置挪到另一个位置，就看你怎么处理了。把“-”放到里面，本身有正有负，这样做好处就是形式上可以统一起来，公式只有一个

但是加速运动是加，减速运动还是加，这就和生活中的习惯不一致了，有些学生感到无法理解；而且有些学生代数不好，坚持认为一定是正数，一定是负数，这样的学生就更糊涂了。第三种形式存在类似的问题。三种处理方法各有优缺点，最好都能理解掌握。

回到前面的问题，这其实也是电动势的正负号问题，题目中比较常见的处理方法类似于上面的形式3，表示电动势的大小，前面配合正负号表示电动势。

第二种情况，电动势与电流方向相同，电动势使电势升高，电动势取正号

例如，既表示电动势的大小，也表示电动势。

第一种情况，电动势与电流方向相反，电动势使电势降低，电动势取负号

例如，此时表示电动势的大小，表示电动势，电动势是。

这样就可以把一段含源电路的欧姆定律形式上统一起来，

（但是这个公式中的表示电动势，本身有正有负！）

电动势全部都是使电势升高，只不过电动势与电流同向时，电势升高了；电动势与电流反向时，升高了。电动势全部都要减去，电动势与电流同向时减去，电动势与电流反向时减去。（但是这段话中的所有都表示电动势的大小，前面配合正负号才表示电动势！）

不管哪种形式，关键还是理解其实质含义，掌握其表示方法。

下面做一个小练习。对于正常工作的电动机，部分电路的欧姆定律也不成立，为什么？这是上一篇文章遗留的问题。

截取左上角一部分电路

沿着电流的方向从左向右，根据一段含源电路的欧姆定律列方程，

解得

由此可以看出，无论是部分电路的欧姆定律，还是闭合电路的欧姆定律，不成立的原因是一样的，都是因为反电动势的存在。

回到一段含源电路的欧姆定律本身，看一个特殊但是又非常重要的情况，两点和重合，

得：

这一结论就称为基尔霍夫第二定律。

五、基尔霍夫第二定律

1.表达式：

2.内容：

对于电路中的任一闭合回路，沿回路绕行一周，回路中各电阻上电势降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势升高的代数和。

六、练习

1.（2023新课标卷物理第22题）在“观察电容器的充、放电现象”实验中，所用器材如下：电池、电容器、电阻箱、定值电阻、小灯泡、多用电表、电流表、秒表、单刀双掷开关以及导线若干。

（1）用多用电表电压挡检测电池的电压。检测时，红表笔应该与电池的___________（填“正极”或“负极”）接触。

A．迅速变亮，然后亮度趋于稳定

B．亮度逐渐增大，然后趋于稳定

C．迅速变亮，然后亮度逐渐减小至熄灭

解：（1）时刻谨记多用电表的电流方向规律“红进黑出”，从红表笔流进多用电表，从黑表笔流出多用电表，不管是测电压电流还是电阻，都是这个规律，很容易看出红表笔应该与电池的正极接触。

（2）开关接1，电容器充电。

充电过程。电路不稳定，基尔霍夫第二定律能不能用？

注意电容器的电压电荷量只能逐渐变化，而不能突变，电路中的电流可以近似看成恒定电流，因此基尔霍夫第二定律仍然适用。类似于变速直线运动，如果速度变化很慢，可近似看成匀速直线运动。

根据基尔霍夫第二定律列方程，从电源正极出发，沿电流方向绕回路一周，

解得

讨论：

1> 刚开始充电时，

电阻箱阻值为，

由于，，对照图（b），显然对应虚线与纵轴的交点，对应实线与纵轴的交点，第（3）问的第一个空答案就出来了，应选择。

2> 充电过程，电容器的电压逐渐增大，电流逐渐减小。

3> 经过一段时间，，充电结束，电容器处于稳定状态。

以上分析的是充电过程，下面看放电过程。开关接2，电容器放电。

电容器相当于电源，仍然从电源正极出发，沿电流方向，绕回路一周，

解得

放电过程，电容器的电压逐渐减小，电流逐渐减小。经过一段时间，，放电结束，电容器再次处于稳定状态。

因此第（2）问答案选。

需要特别说明的是，电容器无论是充电还是放电，电流都是逐渐减小的，图像的形状和图（b）差不多。

至于第（3）问的最后一个空，看似简单，但是想说清楚原因并不容易，留在后面再说。

2．在竖直放置的平行金属板间用长为的轻质柔软绝缘的细线拴一质量为，电荷量为的带电小球（可视为点电荷），细线的上端固定于点，开关闭合稳定时小球静止在板间的点，细线与竖直方向成，如图所示，点距右极板的距离为，且左极板接地，其中，，则（）

．小球带正电荷

．将图中滑动变阻器的滑片向右移，细线与竖直方向的夹角将变小

．将绝缘细线剪断，球将做曲线运动，经0.2打到右极板上

．断开后，将右极板向左平移少许（仍在点的右侧），点电势不变

解：A．由电路图可知电容器右极板带正电，根据受力平衡可知，小球受到的电场力水平向右，与电场方向相反，则小球带负电，故A错误；

B．根据基尔霍夫第二定律列方程，从电源正极出发，沿电流方向绕回路一周，

电容器稳定时电流为0，故，故调节对电路没有影响，电容器两板电势差一定，小球所受电场力一定，故偏角不变，故B错误；

但是这么理解存在一个问题，调节会不会导致电容器充电或者放电，电流不再为0？如果是这样的话，上述分析就不对了。

开关闭合之后，电容器就开始充电，直到，调节电容器也不可能充电了。

如果放电，电路中的电流会反向，从电容器右极板出发，沿电流方向绕回路一周，

得

但这是不可能的，电容器的电压不可能超过电源的电动势。所以放电也不对。

因此调节对电路确实没有影响，电容器始终处于稳定状态。

C．小球所受电场力和重力的合力沿着细线方向，将绝缘细线剪断，球将沿细线方向向右下方做匀加速直线运动，故C错误；

D．断开开关，电容器极板电荷量不变，由

知极板内电场强度不变，因左极板到点间距不变，且左极板电势始终为零，则点电势不变，故正确。

故本题答案选D。

3.（2017天津卷）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为，电容器的电容为。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为，电阻不计。炮弹可视为一质量为、电阻为的金属棒，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关接，使电容器完全充电。然后将接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出），开始向右加速运动。当上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，达到最大速度，之后离开导轨。问：

（1）磁场的方向；

（2）MN刚开始运动时加速度a的大小；

（3）MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。

解：（1）磁场方向垂直纸面向里。

（2）充电刚结束时，。接至2，刚开始运动时，无感应电动势，对于电容器和组成的闭合回路，

得

安培力

加速度

（3）运动之后，产生感应电动势，

注意感应电动势的方向与电流的方向相反，

得

注意是实际上流过导体棒的电流，也就是总的电流，包括了电容器放电流过的电流和感应电流。

由于是放电过程，电压减小，速度增大，电流减小。经过一段时间，电流减为0，设此时电容器的电压为，速度为，此时速度最大，因为安培力已经减到为0，接下来匀速运动，电容器也不再放电。

这一点题目已告诉我们，作为练习，我们又自己推导了一遍。

此时电容器剩余的电荷量

对，由动量定理得：

化简得：

注意是该过程中流过的电荷量，并不是电容器的电荷量，因此有

解（1）（2）（3）得：

4.（2022甲卷第20题）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为的电容器和阻值为的电阻。质量为、阻值也为的导体棒静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为，合上开关后，（　　）

A. 通过导体棒电流的最大值为

B. 导体棒向右先加速、后匀速运动

C. 导体棒速度最大时所受的安培力也最大

D. 电阻上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热

解：

闭合开关之前，电容器的电压。

合上开关后，电容器通过电阻和导体棒放电，电流方向均为顺时针，然后导体棒受到水平向右的安培力，向右加速运动，切割磁感线产生感应电动势，设此时流过电阻的电流为，流过导体棒的电流为，注意是实际上流过导体棒的电流，也就是总的电流，包括了电容器放电流过的电流和感应电流。也是实际上流过电阻的电流，也是总的电流。

选择电容器和导体棒组成的回路，从电容器上极板出发，沿电流方向绕该回路一周，

得

方向从到。导体棒所受的安培力方向向右，向右加速运动。同时由于电容器在放电，电压不断减小，减小。

因此，刚合上开关时，流过导体棒的电流最大。选项A正确。

经过一段时间，减到0，安培力为0，设此时电容器的电压为，导体棒的速度为，。

接下来导体棒匀速运动？

和第3题不一样了，电容器会通过电阻继续放电，电压从继续减小，，流过导体棒的电流反向，安培力也反向，导体棒向右减速运动，选项B错误。

速度是导体棒的最大速度，但是同时安培力为0，选项C错误。

选项D比较复杂。分两个阶段讨论。

（1）导体棒的速度时，对电容器和电阻组成的回路，

得

（2）导体棒的速度时，导体棒中电流反向，是不是仍然成立呢？

观察A点，有两个电流流入A点，有一个电流流出，它们之间似乎存在什么关系。基尔霍夫第一定律正是回答了这个问题。像A点这样的三条或者三条以上支路的交汇点叫做结点或分支点，基尔霍夫第一定律告诉我们，对任一结点，流入的电流等于流出的电流。

显然，仍然成立。

全过程始终大于，产生的热量自然也要大些，因此选项D正确。

本题答案为AD。

七.基尔霍夫第一定律

1.内容

对任一结点，流入的电流等于流出的电流。

2.公式

3.证明

本文讨论内容的大前提是恒定电场和恒定电流，电路中的电荷分布不随时间的改变而改变。所以，对于结点A，一段时间内，流进的电荷量与流出的电荷量相等。

如果不相等，

流入的多，流出的少，结点A中的电荷量会越来越多。

流入的少，流出的多，结点A中的电荷量会越来越少。

无论哪种情况，都与恒定电场恒定电流矛盾，所以只能

两边同时除以时间，就得到

八.基尔霍夫第二定律的补充说明

上篇文章已经使用基尔霍夫第二定律列方程了，而且比我们今天讨论的情况还要复杂。

对于右边两个电源组成的回路，根据基尔霍夫第二定律

问题是这个回路中两个电流的方向不一样，根据哪一个电流的方向绕回路一周呢？

答案很简单，哪一个都行，可以随便选择一个方向绕回路一周，而且这个方向叫绕行方向。

所以对于这种情况，首先选择一个绕行方向，比如顺时针方向，然后从右边电源的正极出发，经过结点A，逆着电流绕行，沿着电流方向，电势降低，逆着电流方向，电势自然升高了，所以前面是“-”。

对于中间下面的结点A，根据基尔霍夫第一定律

流入的电流与流出的相等。

本文完。

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