含参函数中参数表达式的最值分析——线性规划

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含参函数+最值问题

在高中数学中，有这样一类函数题目，给定的函数解析式中含有参数（参数个数 1，也可能为2），这样一个含参函数满足一定的约束（单调性约束，范围约束等），最终让我们求解的一般是一个参数表达式的最值。这类题目大家或多或少都做过，它的特点就是分析的重点基本上都在参数上，函数自变量有点类似于一个配角。做题目中要能够合理分析，就是在什么情况下函数自变量为主导，什么情况下参数又是主角。我个人觉得这类函数题目还是比较有难度的。

在这里先做一个小小调查：你觉得含参函数的分析难吗？

● 题目分析

本期我就给大家分享这类含参函数+参数表达式最值分析的例题，对于这道题目呢依然可以从不同的角度出发进行分析，我们一起从不同的视角观察这道题目。

总结

这道含参函数题目本质上是需要根据函数满足的条件定出对应参数的取值范围，然后再对应的范围约束下分析目标表达式的最值。这类题目在分析的时候重点在于能够根据题目条件准确定出参数范围。

本文分享针对这道题目从两个角度出发分享了两种不同的求解方法：代数与几何。

代数角度分析时，对于参数范围的确定是通过分析导函数的正负情况得到的，后面基于基本不等式分析不同约束下的最值，之后求交集得出最终的最大值。

几何角度分析时，对于参数范围的确定是通过分类讨论二次函数的k分布情况得到的，最后将三种情形在坐标系中对应的可行域空间绘制出来，目标表达式的几何意义就是矩形的面积，因此只需要分析边界情形，可以针对两种不同边界利用二次函数工具分析对应的最值，最终得出最大值。

代数和几何两个角度的分析区别是很大，但是最终得到的结果是一致的，所站的视角是不一样的，所以大家可以尝试从不同的角度看待同一个问题，你可能会收获新的数学灵感。