问道物理13：从振动到波——机械波中的概念生成

我们在生活中经常看到这样的一些现象：石头激起涟漪向四周传播、抖动一条长绳绳上凸起的部分向前传播、体操运动员抖动彩带形成美丽的波纹。这些现象一方面说明这是一种特殊的运动形式，另一方面也让我们从形状上猜测其与振动有关——振动物体的位置随时间的变化规律在图像上恰好也是这样的。那么波与振动之间有什么样的联系呢？

我们如果观察波上的一个位置（沿着波传播方向上建立直线坐标，则用坐标位置表示更加明确），则发现这一点的运动就是往复运动——振动。所以我们可以很显然看出波是一系列连续物质做振动所展示的图形，在每一个瞬间的波形图与一个点的振动随时间变化规律几乎是一样的。这又是为什么呢？其实波是质点的受迫振动在介质中的传递。介质中的某个点，在前面质点的弹力带动下振动，后者跟随前者运动，所以其运动是完全“复制”前面质点的运动。这就是波的产生及传播机制。

上述探讨的是定性方面的粗略判断，若要想得到准确的结论，则需要从受力的动力学方程来判断。由于一般介质在微小形变的情况下满足“胡克定律”，所以可以用质元受力来求得其二阶微分方程：

，整理得

。解这个微分方程得到的通解是：

，其中

为波的传播速度。当然，这些涉及到微分方程的建立对于我们数学能力较弱的初学者来讲是比较不容易的，我们更喜欢能够便于理解的、形象的表达方式。

我们假设介质中其他质点都不运动，只有我们所选定研究的质元在运动，则这个质元受力与偏离自身的平衡位置位移成正比，说明这个质元在有了初始运动速度之后可以做简谐运动。当然，实际上我们的这个假设是错误的，因为介质中所有的质元都在运动，那么我们得到的定性结论是否还正确呢？我们的微分方程说明这结果还是成立的。实际上，恰恰就是因为所有质元都可以运动才能够把振动这种运动形式传播出去。由于振动引起的质元位移是微小的，所以在普通材料中是符合线性关系的。那么多种振动在同一个介质中传播，其位移、受力都满足线性叠加规律，所以这些振动产生的综合效果与简单的线性叠加是一样的。

如果绳子中（我们选最简单的情况开始研究，则绳子中的波动是最简单的一维情况）端点（振源/波源）振动是简谐运动，则后续的各质元的运动也是简谐运动，实际上波向前传播的过程也是记录振源振动历史的过程。以波前（振动形式刚传到的那个质元）为坐标原点，逆着传播方向建立时间轴，则这个瞬间的波形图就是振源的振动图像（x-t图）。所以，简谐振动引起的波的形状也是正弦式图形，叫做简谐波。凸起的部分叫做波峰，凹下的部分叫做波谷。我们发现相邻的波分、相邻的波谷之间的距离都是相等的，且振动步调也是一致的。进一步观察我们发现某个位置是波峰还是波谷是随着时间变化的，实际上每一个质点都在做简谐运动所以并不存在一直是峰或谷的地方。我们把这相邻波峰或波谷之间的总是相等的距离定义为波长（λ），我们发现在简谐波上相距一个波长的两个质元的振动步调总是一致的。当然，相隔整数个波长位置的质元的振动步调也是相同的。

振源（波源）每完成一次全振动就有一个波形向前传播，所以波长与周期具有对应关系。这种对应关系可以与相位相关联：一个周期就相当于一个2π相位，一个波长也相当于一个2π相位。在简谐波的波动方程中，

，圆频率（角速度）

，波数

。从波的传播角度讲，波前传播的距离与所用的时间之比称为波速，则

在一维情况下，两列波相遇由于介质的力学性质的线性特征而可以叠加，相遇后分离并不会留有相互作用的痕迹，各自保留相遇前的特征。如果这相遇的两列简谐波的振幅、频率、振动方向相同，则在相遇的区域中每个质元的振幅是不一样的，有些地方振幅大有些地方振幅甚至为零（驻波节点）这就是一维机械波干涉情况。当然，在二维、三维情况与之相似，只不过这振幅最大（振动最强）和振幅最小（振动最弱）的分布可以连成线或面（双曲线或双曲面）。在二维情况（高中物理教材所演示的情况）中，两个波源步调一致（当然频率相同），则空间某点到这两个波源距离之差（波程差）为半波长的奇数倍（即两波在此处峰谷相遇），则该位置是振动减弱点。将所有满足波程差相同的点连接便是一条以这两个波源为焦点的双曲线的一支；当然，这样的双曲线有很多系列（波程差不同则双曲线不同）。如果某点到两个波源之间的距离是波长的整数倍（即两波在此处峰峰相遇），则是振动加强点。振动加强点也可以连接成双曲线。

我们有必要说明一下，并不是所有的振动传播方向都是与振动方向垂直的，比如将一根较长的软弹簧一端前后推动，则这种振动沿着弹簧方向向前传播，从形式上看不到波峰波谷而是有的地方弹簧圈数较密有的地方弹簧圈数较疏。这种机械波叫做纵波，其特征是有疏部和密部，振动方向与波的传播方向在同一直线上。所有的介质都可以产生或者说传播纵波，但是不是所有的介质都可以传播横波（具有波峰波谷）。这是因为波的传播机制中纵波是靠相邻质元之间的“挤压”力“带动”，不论是固体还是流体都有这种相互作用的潜在。而横波的传播需要介质中存在剪切力，这在固体中可以存在而在流体中不存在剪切力。在固体中横波与纵波可以同时存在，但是因为“挤压”的“劲度系数”与“剪切”的“劲度系数”不同，所以两种波的传播速度不相同。机械波在介质中的传播速度与波的模式和介质本身相关。

波在不同介质中传播时，会在界面处发生反射或折射。反射规律与折射规律可以用光的镜面反射与折射规律相似，只不过需要把波的传播方向线画出来与光线类比。波的折射是因为波在不同介质中的传播速度不同导致，可以用画波的“传播线”方法粗略证明（惠更斯曾用这种方法证明了折射现象，所以这种方法也叫做惠更斯原理）。波在传播过程中遇到障碍物时（非一维情况）可以绕射过去，这种现象叫做波的衍射。波的衍射机制又是什么呢？实际上我们可以认为已经发生振动的质元都可以是波源，则波传播到障碍物处，虽然有被障碍物挡住的部分，在障碍物边缘处还是有波传到这里，这里作为继续传播下去的中继波源，则在原本应该是阴影处也能够被波传播到。我们发现障碍物尺寸越大，挡住的部分越大（这些部分原来也应该有很多中继波源（子波源）），所以边缘处的波源传播到阴影部分的波的强度就大大减弱而感知不到（检测不到）。所以，波的衍射现象是否显著与障碍物的尺寸有关，障碍物尺寸越小衍射现象越明显。当障碍物的尺寸远超过波长的时候，衍射现象几乎观察不到，我们就一会觉得波沿直线传播了。这种现象在我们的高中物理教材中有设计实验来探究验证的，现象很明显。这种现象可以有哪些应用呢？我们可以用来进行解释为什么次声波可以传播很远，也可以据此设计出长波来传递信息可以绕过高大建筑物或大山。

下面是思维导图。

 

这是高中教材对机械波的内容安排：