好题天天解——导弹轨迹是椭圆——运动时间能不能解

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10月5日，本公众号曾在题为“好题天天解——天体运动轨道有椭圆——椭圆抛物线双曲线的应用”的文章中指出，在地面附近水平或斜向上抛出的物体在空中运动的轨迹，严格的讲是椭圆，说成抛物线是近似的。今天，我们再结合具体试题来讨论一下炮弹以及洲际弹道导弹的运动轨道。

关于洲际弹道导弹的运动轨道，现行教科书和前一个版本的教科书似乎没提，但在“思考与讨论”中提到了炮弹的运动：

“尝试导出表达图5.4-5所示的斜抛运动轨迹的关系式。讨论这个关系式中物理量之间的关系，看看能够得出哪些结论。以上讨论有一个前提，即空气阻力可以忽略。如果速度不大，例如用手抛出一个石块，这样处理的误差不大。但是物体在空气中运动时，速度越大，阻力也越大，所以，研究炮弹的运动时就不能忽略空气阻力。根据你的推测，炮弹运动的实际轨迹大致是怎样的？”

由于空气阻力不能忽略，所以炮弹运动的实际轨迹不再是“抛物线”，而是“弹道曲线”。由于空气阻力的影响，射程和射高都减小了。

下边是人教版更早版本的教科书上关于洲际弹道导弹在“思考与讨论”中提出的问题：

思考与讨论

“平抛物体的初速度不太大时，在平抛物体运动的范围内，地面可看作是水平面，重力加速度的方向始终垂直于水平面。如果平抛物体的初速度很大，其射程就会很远，如发射洲际弹道导弹。当火箭停止工作后，导弹获得很大的水平速度，此后导弹的运动还会不会仍像例题中飞机投下的炸弹一样做平抛运动呢？为什么？这时导弹已处于大气层外，没有空气阻力。”

这时，洲际弹道导弹虽然已处于大气层外，没有空气阻力。但是，地面已不能看作水平面，“重力”（引力）也不再是竖直向下的恒力。所以，洲际弹道导弹的运动也就不会仍像飞机投下的炸弹一样做平抛运动，即轨迹绝对不再是抛物线，而应该是椭圆。其实，即使是平抛运动，也应该说成轨迹近似为抛物线。

例题一．如图所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，牛顿设想：把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。关于该情境，下列说法正确的有（　　）

A．当水平抛出的物体速度较小时，物体沿直线运动至地面

B．如果在高山顶向上抛出物体，速度足够大时，物体将不会回到地球

C．不断增大物体的初速度，物体在运动过程中受到的引力将不能视为恒力

D．不断增大物体的初速度，直至使物体成为人造地球卫星，在此之前每次抛出物体的运动轨迹都是抛物线

这道题来源于广东省广州市第六中学2023-2024学年高二上学期开学考试物理试题第10题、2022届广东省佛山市碧桂园学校高三下学期3月综合能力测试物理试题第9题……。答案是：BC。

例题二．如图所示为1687年出版的《自然哲学的数学原理》中一幅经典图，牛顿设想：把物体从高山上水平抛出，若速度一次比一次大，落地就一次比一次远；当抛出速度足够大时，即达到特定速度（临界速度）物体就不会落回地面。下列说法正确的是（　　）

A、增大抛出速度就会减小地球对物体的引力

B、增大抛出速度是因为物体惯性增加而运动更远

C、不计空气阻力，物体质量越大，该临界速度越大

D、若物体抛出时的速度大于该临界速度，可能沿椭圆轨道运动

这道题来源于辽宁省六校2022-2023学年高三上学期期中联考物理试题第5题、重庆市北碚区2021-2022学年高一下学期期末物理试题第6题……。答案是D。

以上是两道容易解答的试题，还有较难一点的，比如：

例题三．如图所示，从地面上A点发射一枚远程地对地弹道导弹，仅在万有引力作用下沿椭圆轨道ABC飞行击中地面目标C，轨道远地点B距地面高度为h．已知地球的质量为M、半径为R，引力常量为G．下列说法中正确的是  

A．速度v_A>11.2km/s，v_B<7.9km/s     

B．地心O为导弹椭圆轨道的一个焦点

 

这道题来源于2019届河北省衡水中学高三物理高考模拟试题九。题目明确指出导弹是沿椭圆轨道运动，还指出B是远地点，其实B就不可能是近地点。【参考答案】BD。

例题四．如图是2019年10月1日北京天安门大阅兵我军展示的东风

洲际弹道导弹，它是中国研制的一种先进的多弹头洲际导弹，固体燃料，三级结构。东风

能够携带十二枚分导式核弹头，最大射程超过一万四千公里。如图所示，从地面上A点发射一枚中远程地对地导弹，只在引力作用下沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为H。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，不计空气阻力，下列结论中正确的是（　 ）

A．导弹在运动过程中引力方向不断变化，做非匀变速曲线运动

B．导弹从A到C速度增大，C到B速度减小

 

这道题来源于2021届重庆市九龙坡区育才中学高三上学期期中模拟物理试题。题目同样指出导弹是沿椭圆轨道运动，还指出C是远地点，实际上C就不可能是近地点。选项A很不错，让我们认识导弹受的引力根本就不是恒力。【参考答案】AD。

例题五．如图所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，午顿设想：把物体从向水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。现从地面A点斜上抛一个物体（视为质点），最高点为C（距地面高度H），落地点为B。已知地球半径为R，地球同步卫星半径为R₀，周期为T₀，地表重力加速度大小为g，忽略地球自转，则正确的是    (    )

A．若H=10 m，轨迹ACB可视为抛物线

B．若H=1000 km，轨迹ACB可视为抛物线

C．物体从A到C的时间等于从C到B的时间

D．物体从A到B的总时间t满足

 

这道题可能是新改编的，到现在还没有查出来源。比前边的题目难度大了一点。题目没有告诉我们物体运动的轨道是椭圆，更没说最高点C是远地点。关于选项AC，我们当然知道，H=10m时，运动范围比较小，重力可以近似看作恒力，空气阻力也可以忽略，所以物体运动轨迹也就可以视为抛物线，即选项A正确；而当H=1000km时，运动范围非常大，物体类似于洲际弹道导弹，引力也就不再能看作恒力，空气阻力倒是可能不存在了，所以这时物体运动的轨迹应该是椭圆，当然最高点C依然应该是远地点，可见选项B错误。根据对称性，我们不难判断，选项C应该是正确的。

对于选项D，我们可以作如下推导：

设物体椭圆轨道的半长轴长为a，沿椭圆轨道运动的周期为T₁，则由开普勒第三定律可得：

 

由于地球球心是椭圆轨道的一个焦点，所以2a>R+H，于是可得：

  

但是物体从A运动到B的总时间t与椭圆轨道对应的周期T₁的一半的关系并不确定，所以

这个结论也就无法得出，可见选项D不能选。

故本题答案应该是选AC两项。

通过上边的例题以及有关分析，我们对地面附近的炸弹等物体的运动以及洲际弹道导弹、卫星等的运动将会理解的更加深刻全面。