【高中数学精讲】平面向量的数量积

【学习导引】本期课我们学习向量的数量积。

一、向量的夹角
对于两个非零向量和,如果以为起点，作,,那么射线、的夹角叫做向量与向量的夹角.的取值范围是.

当时，表示向量与向量的方向相同;
当时，表示向量与向量的方向相反;
夹角或的两个向量是相互平行的，夹角的两个向量是相互垂直的，记作.

二、向量的数量积
一般地，如果两个非零向量与向量的夹角为（）,那么我们把叫做向量与向量的数量积，记作，即

.

特别地,记作.
如果向量和向量中有一个是零向量，那么规定它们的数量积为零.
例如:一个物体在力的作用下其方向与物体移动的方向成角，产生的位移为那么力所做的功为:

.

功的大小等于力、位移的模与他们夹角的余弦的乘积.

在数量积的定义中，我们把叫做向量在向量的方向上的投影，即有向线段的值，如图所示：

当时，有向线段的值等于向量的模;
当时，有向线段的值等于向量的模的相反数;
当时，有向线段的值等于.

向量数量积的几何意义
两个向量、的数量积是其中的一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的投影的乘积.

向量数量积的运算性质
根据向量的数量积的定义，数量积的运算满足下列性质:
对于,有
（1），当且仅当时，.
（2）.
（3）.
【注意】向量的数量积没有结合律.

（4）.

三、向量数量积的坐标表示
对于用坐标表示的向量,,由数量积运算的性质(4),它们的数量积:


因为是互相垂直的单位向量，所以:
,
于是有:,
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.

四、向量的应用
向量方法可运用于证明有关直线平行或垂直、线段的相等、点共线、求夹角等问题,其基本方法有:
(1)证明线段相等,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义,如要证明两线段,可转化为证明或.
(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件:或.
(3)要证三点共线,只要证明存在一实数,使,或若,,,存在一个实数,使即可.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:.

用向量法解决平面几何问题,一般来说有以下两种方法:
(1)几何法:选取适当的基底(基底向量尽量取已知模或夹角的向量),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则或性质计算.
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.

【例题1】已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且,求的最小值.
详解:∵,
∴

延长至点，使得,
则.
∴
上式说明:三点共线，如图所示:

取的中点,连接,则:
,,
而.
∴


.
∴当最小时，最小，此时.
根据平面几何知识可得：
.
∴.
∴的最小值.

【例题2】求证:三角形三边中垂线共点，此点叫外心，且外心到三顶点的距离相等.
证明:如图，设三边中点分别是，过及作及的中垂线交于点,连接，为三角形外任意一点，

则,
,
,
∵,∴.
∵.
∴,
展开得:
①
同理，由可得：
②
①+②可得：
,
∵.
而.
∴.
∴.
从而得证三边中垂线共点于.
∵



∴
,
由②式可知：
∴,
同理可证：,
∴.
即为外心，且到三顶点的距离相等.