自然常数e是怎么来的？

在高中数学的指数函数、对数函数部分中，我们常常会见到一个自然常数e，比如这几个：

它俩都是以e为底数的指数函数、对数函数。

老师会告诉我们这个自然常数e是一个无理数，它的值约等于2.718……，还告诉我们这个自然常数是三大无理数之一，相当神奇。

但这个自然常数e对大多数人来说，好像是突然凭空出现的。

它到底是什么意思？

怎么来的？

2.718这个数字能计算出来吗？

其实顺着它的历史来源，我们就能知道它的确和我们的日常生活息息相关，也能大致搞清楚这个2.718的这个数是怎么算出来的。

它最早的来源其实可以追溯到银行复利的计算：

假如一个银行对外宣布说：如果你把钱存到他的银行里，按一年期计算，它的利息可以翻倍，也就是你如果在他的银行存入1块钱，一年之后就可以拿到一块钱本金加上一块钱利息。也就是两块钱。

一年百分之百的利息呀，相当划算。

你信了他的话，在银行存入了一块钱，一年之后你确实拿到了两块钱。

第二年的时候，你想着如果一年之后取，时间有点长，你想半年取一次，银行也答应了，但告诉你，如果半年取一次的话，利息会减半，也就是半年取一次的话，只能按50%的利息计算。

按照这个计算方法你存入一块钱，半年之后你会取得1块5毛钱，这其中1块钱是你的本金，5毛钱是你的利息。取出来之后你如果把1块5毛钱又直接存进去，再存半年，还是按照50%的利息，到了年底的时候，你就会取到1块5的本金，以及一块五的利息，也就是7毛5分钱，合起来是2块2毛5。

你发现，这种半年取一次再存进去的话，比一年取一次的方式更划算。

因为一年取一次是两块，而现在半年取一次再存进去的话，一年之后你取到的总金额是2块2毛5。

你似乎发现了增值的诀窍。

你这次采用三个月取一次，然后再存进去的方法，也就是一年取四次，这时候的利息是一半儿的一半儿，也就是25%。

这样你存入1块钱的话，三个月之后你可以取到1块2毛5。

你继续存进去，再三个月之后你就会取得1块2毛5，再加上一块两毛五的25%利息，也就是1.5625……。

你如法炮制；继续取出后接着存进去，你会发觉，到年底你会拿到2.44。

具体计算方式如下图：

哇塞，这玩意太神奇了有没有？这不是薅银行的羊毛吗？这也太香了！

好，现在你动了靠这个发财的念头，你想着每天取一次，是不是得到利息会更多？

如果每小时取一次呢？

不不不，玩点狠的，如果每分钟取一次呢？

……

额，如果你真的打算跟银行耗上了的话，你还真的在无意之间接近自然常数e的真相了——

好，我们算一下：

如果你的本金是一块钱，年息是100%，你在银行每分每秒的不断地存取，比如说一年之中你存取n次，那每存取一次，银行就会按照100%除以n次的利息给你结算，一年下来，本金加上利息最后是多少就可以按照下面的公式进行计算：

就算你在银行从年头到年尾累成一大坨，最后你也会发现，年底你能拿到手的钱绝对不会超过两块七毛二。

也就是说，这个约等于2.718的数，是一块钱在年息100%，你又把一年的时间无限分割不断地存取之后，一块钱在自然连续增长的条件下能拿到的本金加利息的极限。

注意注意，这个2.718就接近了自然常数e了。

有个大数学家欧拉把这个可能的极限值取了一个大家都莫名其妙的名字“e”。因为他太有名气，大家也就把这个值称为e，现在我们把它称为自然常数。

也就是说：

额，极限，这已经超出了我们高中数学的范围了。

得，我们知道这个家伙怎么来的就行了，有关它的各种神奇的应用，得至少到大学再研究吧？

嘿，期待中！